1 引言

當前，絕大多數非高斯噪聲的建模形式都為Alpha穩定分布噪聲。首先，Alpha穩定分布符合中心極限定理，在理論上適合應用于實際場景中的噪聲建模；其次，Alpha穩定分布由于其參數的可變性，包含高斯分布、柯西分布和拉普拉斯分布等，研究Alpha噪聲下的調制識別方法比高斯分布噪聲更具有普適性。但是，Alpha穩定分布噪聲不具有二階及二階以上特性，大部分的時頻特征和統計特征失效。

課題的第四章節主要利用統計特征實現非高斯場景下的調制識別方法。在非高斯場景中，主要的抑制噪聲手段如圖1所示。

圖1 Alpha穩定分布噪聲的抑噪方法

本次分享中，主要介紹特征分數低階化的方法，用到的特征是常用的循環譜方法，通過構造分數低階循環譜特征，獲得含有Alpha穩定分布噪聲信號的特征向量，最終使用訓練好的分類器模型得到最終的信號分類結果。

2 研究目的：

論文的第四章節中，主要想利用基于分數低階統計特征的調制識別方法，因此首先嘗試了使用分數低階循環譜特征，該方法有效地實現了Alpha噪聲下的調制識別，并得到較優的識別精度。一方面，使用傳統的方法實現非高斯場景下的調制識別方法具有工程可實現性；另一方面，為第五章節基于深度學習的調制識別方法提供了對比。

3 循環譜的理論基礎

通常在對平穩隨機過程的各階統計量進行描述時，因為平穩的隨機過程具有時間遍歷性，所以各階統計量都可以采用時間平均這一概念來描述。但由于非平穩信號的均值和自相關函數都是隨時間而變化的函數，所以不能直接用時間平均來計算信號的統計量特征。

假設一個確定的復正弦信號

，n(t)是均值為零的隨機噪聲，即

用統計平均的方法求出以上過程的均值，有

被稱為時間函數，根據時間函數可以得到信號的均值，一般采取的方法為同步平均。設 為以上隨機過程中的周期值，選取信號x(t)的采樣點，采樣點個數為2N+1，假設有限時間是t，通過同步平均的方法，可以得到估計的信號統計均值，具體公式如下。

其中信號的持續時間為

信號的持續時間越長，外界噪聲對信號的干擾越小，有

具有周期性，周期為 。若將統計均值以傅里葉級數的形式展開，則有

其中，傅里葉系數的具體形式由下式給出，即

由上述式子的推導可得：

如果x(t)中包括很多不同的周期信號，則根據上述的公式可以進一步得到下式：

在上式中，

代表了信號的諧波頻率，在信號x(t)進行大小的頻移后，得到的循環均值為 。此時的代表了一階循環頻率，通過可以得知循環均值 的值是否是零。信號為一階循環平穩的條件是信號的循環均值和一階循環頻率都不是零。

假如信號的循環均值和一階循環頻率其中有一個為零，那么為了對信號繼續分析，就需要利用信號的二階統計量這一參量，二階統計量代表了信號的自相關函數，自相關函數的定義如下：

其中T代表了自相關函數的循環周期。

假設信號x(t)的均值為零，信號的自相關函數以傅里葉級數的形式來表示，則有：

其中

為傅里葉系數，

如果x(t)是經歷了各態的過程，則有下式：

同樣傅里葉系數為：

由上式可得，當

時，代表了自相關函數。當 時，代表了循環自相關函數，具有循環平穩的性質，且不全部是零。此時的 代表了二階循環頻率，被稱為循環頻率，同樣具有循環平穩的性質。

循環譜也就是循環平穩信號的譜自相關函數，用

表示：

在循環頻率為零時，信號的循環譜代表了功率譜；在循環頻率不為零時，信號的傅里葉變換代表了循環譜。

運用信號的互譜理論，可以得到如下關系：

結合以上關系可得：

u(t)和v(t)互相關的結果可以得到循環自相關函數，兩者之間的關系是

。

由互譜理論分析可得

則

由以上結論可得，信號的循環平穩性質可以通過瞬時譜相關看出，公式如下：

由上式可以看出，根據信號循環譜

的公式，代表了信號的短時傅里葉變換，也就是信號在一個時間段里的頻譜，對信號進行短時傅里葉變換后，信號的譜相關函數可以根據互譜理論和公式得到，此時的譜相關函數也就是信號的循環譜。

采用信號循環譜的優點是，信號的循環譜密度函數能夠表示一些信號的特性和特征，例如循環譜包含了信號的頻率和循環頻率，從這些信息能夠對信號進行更準確有效地分析，對信號處理系統的準確性有很大提升。當外界信道環境包括噪聲時，則輸入信號滿足：

x(t)=s(t)+n(t)

其中x(t)代表了信號，n(t)代表了外界環境中的噪聲。假如n(t)為符合高斯分布的高斯白噪聲，那么x(t)的自相關函數就不是周期函數，x(t)具有平穩的性質，x(t)的循環譜密度函數如下：

上式表達的意義是符合平穩分布的噪聲的循環譜密度函數為零，因此通過信號的循環譜可以抑制穩定分布噪聲的幅值，進而得到屬于信號的循環譜特征。

4 分數低階化方法

一般來說，分數低階循環統計量包括分數低階循環自相關函數和分數低階循環譜密度函數兩個概念，是分數低階統計量中的一個重要的組成部分。

假設隨機信號x(t)的自相關函數的周期大小為

，那么x(t)就屬于循環平穩信號，如下式所示為分數低階循環自相關函數表達式，式中 。

假如采用復數形式，那么信號的分數低階循環譜可能會有一些信息被遺漏。因此本課題將研究重點集中在變換后信號的實部，即

。若b介于 范圍內，當b=1時，分數低階循環譜也就變成了二階循環譜。 代表循環頻率，f代表頻率，將 進行傅里葉變換，得到 ，就是信號的分數低階循環譜。分數低階循環譜如下式所示：

其中，f表示信號的頻率。

對于復解析信號

， ，分數低階循環譜通過計算使得循環譜圖上噪聲的幅值為零，但是信號的幅值不為零，通過這種方法可以得到信號的循環譜特征。由于非高斯噪聲的二階統計量不存在，因此只能利用分數低階統計量來對非高斯噪聲進行處理。分數低階循環統計量與二階循環統計量具有相同的循環頻率。

5 仿真結果

圖2 2ASK、BPSK和2FSK的分數低階循環譜三維圖

如圖2所示為2ASK、BPSK和2FSK的分數低階循環譜三維圖，經過對調制信號分數低階循環譜三維仿真圖的分析，為了減少識別算法的計算量，將調制信號的分數低階循環譜在f=0的截面上作投影，將三維立體圖轉換為二維平面圖。由仿真實驗結果可知，分數低階循環譜在截面上投影的包絡就能夠完整反映出不同調制信號的不同特性，因此對譜圖進行進一步處理，最終提取調制信號分數低階循環譜在f=0截面上投影的最大值作為調制信號的循環譜特征。

（a）BPSK

（b）QPSK

（c）2FSK

（d）4FSK

圖3 不同信號分數低階循環譜截面投影

如圖3所示為不同調制信號的分數低階循環譜在f=0截面上投影最大值的仿真實驗結果。

確定不同調制信號的分數低階循環譜特征之后，需要對適用于本文所選五種調制信號的分類方法進行選擇。本文根據選定的分數低階循環譜特征，選取KNN分類器（k近鄰分類算法）作為分類方法。利用KNN分類器進行分類識別一般需要經過兩個階段。第一個階段是訓練階段，在對輸入信號進行判定之前，首先需要對KNN分類器進行訓練，輸入不同類別的帶有相應標簽的樣本數據，使得分類器中已存儲好可供判定使用的樣本數據集。分類器訓練的結果一般是不同類別的樣本數據分布在不同的區域，而相同類別的樣本數據之間的距離很小。所以可以根據輸入的待標記樣本數據附近一定范圍內，樣本個數最多的樣本類別來判斷輸入的樣本數據所屬的類別。在訓練階段，本文選取調制信號分數低階循環譜截面投影的最大值即調制信號的循環譜特征作為訓練的樣本數據。訓練的數據集為2ASK、BPSK、QPSK、2FSK和4FSK五種調制信號的循環譜特征，設定每種調制信號各有100組循環譜特征的樣本數據，對五種調制信號分別進行了100次的蒙特卡洛仿真實驗，共得到了500組調制信號循環譜特征的樣本數據。同時對每組樣本數據標記好對應的信號種類標簽，并將調制信號循環譜特征的數據集和標簽同時輸入到KNN分類器中進行訓練。

圖4 三種算法在α穩定分布噪聲背景下的識別率曲線

為了將本文選取的分數低階循環譜算法和傳統算法作對比說明，如圖4所示為α穩定分布噪聲背景下，高階累積量算法、二階循環譜算法和本文選取的分數低階循環譜算法的識別率曲線對比圖。由圖可知，高階累積量算法和二階循環譜算法在α穩定分布噪聲背景下識別率很低，算法將失效，但在同樣的混合信噪比范圍內，當混合信噪比MSNR>13dB時，分數低階循環譜算法的識別率在90%以上。

5 進度總結及計劃

已經實現了基于分數低階循環譜的調制識別方法，但該方法在模型測試的時候具有一定的冗余，計劃添加信噪比估計步驟；

信噪比估計步驟已經單獨實現，還沒沒有講信噪比估計和分類識別的過程相結合，完善整個第4章節。

總結

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