可惡的畢設涉及到做出2維及3維空間上隱函數的等值面(線)圖

2維，3維的目的都一樣，就是做出隱函數表示的結構圖，將函數值為0的點視為表面并顯示出來，然后計算等值線(面)所圍之外的面積(體積)占整個空間的面積(體積)的百分比。

一.2維平面隱函數等值線

2維平面上的等值線圖使用contourf函數就可以實現。應該也有許多其他方法。

使用函數 (z=cos(x)*cos(y)+0.5)

1. 做出帶填充的等值(高)線圖

clear all;
clc;
% 給出定義域，生成網格。
x = 0:0.01:2*pi;
y = 0:0.01:2*pi;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 給出隱函數表達式
Z = cos(X).*cos(Y)+0.5;

% 做等值線圖
ax = figure;
[M, C] = contourf(X, Y, Z);
axis off;

C.LineWidth = 1;
C.ShowText = 'on';

生成的圖像為：

根據二元函數求極值的方法，(frac{partial f}{partial x})，(frac{partial f}{partial y})都等于0，且(frac{partial^2 f}{partial x^2}frac{partial^2 f}{partial y^2} - (frac{partial^2 f}{partial x partial y})^2 > 0)，則x,y為函數極值點，若(frac{partial^2 f}{partial x^2}和frac{partial^2 f}{partial y^2})都大于0，則為極小值，都小于0，則為極大值。
求出函數的極大值點分別為(0, 0)、(left(pi,piight))，函數值為1.5。極小值點分別為(0, (pi))、((pi), 0)，函數值為-0.5。
從圖像上可以看出極大值與極小值點，且函數在x,y上的周期均為(2pi)。

2. 做出函數值為0的帶填充等值(高)線

修改上面調用contourf的形式，順便把ShowText關掉。

...
[M, C] = contourf(X, Y, Z, [0, 0]);
...
C.ShowText = 'off';

得到的圖像為：

上面的圖像在邊界上并沒有做出等高線，因此，使用max函數為圖像增加邊界。

...
% 給出隱函數表達式
Z = max(max(cos(X).*cos(Y)+0.5, X.*(X-2*pi+0.01)), ...
    Y.*(Y-2*pi+0.01));
...

之后做出的圖像為：

之所以使用(X.*(X-2*pi+0.01))與(Y.*(Y-2*pi+0.01))，是因為使用2pi時無法做出邊界，原因可能是matlab作圖時是按照類似的坐閉右開區間繪制的，因此把X,Y減小0.01。

還有一個問題是填充問題，我想實現的是等高線內部填充，而不是外部填充。
查了半天也沒找到辦法，通過colormap設置顏色梯度，里面永遠是白色，如下圖。

map = [0 0 0;
        1 1 1];
colormap(ax, map);

得到的圖像為：

最后才發現，colormap填充的是等值線之間的圖像，因為我只畫了一條(z=0)的等值線，所以只能填充等值線以外的。
只要指定一個小于二元函數最小值的值以及所需的值，如下取[-0.5, 0]，使用colormap進行內部填充，-0.5為函數最小值。
修改代碼為：

...
[M, C] = contourf(X, Y, Z ,[-0.5, 0]);    % 因為最小值為-0.5
axis off;
...
map = [0, 0.6, 1;
        1, 1, 1];
colormap(ax, map);

得到圖像：

3. 得到等高線外部占全部面積的百分比

因為使用的離散數據，將大于0的所有節點求和，并除以所有節點即近似為空隙所占面積的百分比。

...
lenX = length(x);
lenY = length(y);
tot = lenX * lenY;
num_in_con = 0;
for i=1:1:lenX
    for j=1:1:lenY
        if (Z(i, j) > 0)
            num_in_con = num_in_con + 1;
        end
    end
end

per = num_in_con / tot;

求得結果為per=0.8160;

二. 3維隱函數等值面

3維的隱函數等值面使用函數isosurface()、patch()以及isonormals()。
以三元函數(f = (x^2+(frac{9}{4}*y^2+sqrt{z}^3-x^2*z^3-frac{9}{80}*y^2*z^3)為例，程序如下:

clear all;
clc

x = -10:0.05:10;
y = -10:0.05:10;
z = -10:0.05:10;

[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);

f = (X.^2+(9/4)*Y.^2+Z.^2-1).^3-X.^2.*Z.^3-(9/80).*Y.^2.*Z.^3;

h = patch(isosurface(X, Y, Z, f, 0));
isonormals(X, Y, Z, f, h);

% 設置圖像屬性
h.FaceColor = 'red';
h.EdgeColor = 'none';
alpha(1);
view([1, 1, 1]);
axis equal;
axis off;
camlight('right');
lighting gouraud;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

其中isosurface(X,Y,Z,f,0);獲取隱函數的等值面，返回包含面和頂點的結構體，這里的面指的是構成隱函數曲面的三角面片，而頂點即為三角形的三個頂點。
patch()由包含面和頂點的結構體繪制隱函數圖,返回h為Patch屬性，可以使用h改變圖像外觀。結果圖如下：

isonormals()基于函數值從新計算等值面的法向量，否則圖像不準確，不使用isonormals()函數的圖像如下：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab做隐函数的等值(高)线&等值面的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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