y=arctanx,則x=tany
arctanx′bai=1／tany′
tany′=(siny/cosy)′=（cosycosy-siny(-siny）)/cos²y=1/cos²y
則arctanx′=cos²y=cos²y/（sin²y+cos²y）=1/（1+tan²y）=1/1+x²
故最終答案是1/（1+x²）

這一步求出了y=arctanx的導(dǎo)數(shù)，要求其冪級(jí)數(shù)可以觀察1/（1+x²）可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。故應(yīng)當(dāng)展開(kāi)1/（1+x²）。

或者這樣：

再來(lái)看剛好在收斂半徑上的點(diǎn)：

當(dāng)然可以利用高階導(dǎo)數(shù)開(kāi)進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

附上完整版：

1、arctanx 的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，必須分三段考慮：

-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞

2、分成zhi三段的原因是：

A、在展開(kāi)過(guò)程中，必須先求導(dǎo)，再積分；

B、在求導(dǎo)跟積分之間，必須運(yùn)用公比小于1的無(wú)窮等比數(shù)列求和公式；

C、運(yùn)用等比求和公式時(shí)，必須考慮收斂與否，因此必須分成兩部分：

|x| < 1、|x| ≥ 1；

D、在 |x| ≥ 1 時(shí)，有必須考慮積分的下限問(wèn)題，因此還得再分為二。

如何將函數(shù)f=arctan展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的将y=arctanx展开为x的幂级数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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