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伯努利分布
二項分布

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伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一種離散分布，又稱為 “0-1 分布” 或 “兩點分布”。例如拋硬幣的正面或反面，物品有缺陷或沒缺陷，病人康復(fù)或未康復(fù)，此類滿足「只有兩種可能，試驗結(jié)果相互獨立且對立」的隨機變量通常稱為伯努利隨機變量。

對于伯努利隨機變量 X，如果使用 1 表示成功，其概率為 p(0<p<1)；使用 0 表示失敗，其概率為 q=1-p。則可以稱伯努利隨機變量 X 服從參數(shù)為 p 的伯努利分布，其分布律為：

對于伯努利分布來說，其離散型隨機變量期望為：

E(x) = ∑x?p(x) = 1?p+0?(1?p) = p

方差為：

D(x) = E(x^2)?(E^2)(x) = 12?p?p2 = p(1?p)

二項分布

二項分布（Binomial Distribution）也是一種離散型概率分布，又稱為「n 重伯努利分布」。

首先看「n 重伯努利試驗」的定義：如果隨機變量序列 Xn(n=1, 2, …) 中的隨機變量均服從與參數(shù)為 p 的伯努利分布，那么隨機變量序列 Xn 就形成了參數(shù)為 p 的 n 重伯努利試驗。例如，假定重復(fù)拋擲一枚均勻硬幣 n 次，如果在第 i 次拋擲中出現(xiàn)正面，令 Xi=1；如果出現(xiàn)反面，則令 Xi=0。那么，隨機變量 Xn(n=1, 2, …) 就形成了參數(shù)為 1/2 的 n 重伯努利試驗。

可見，n 重伯努利試驗需滿足下列條件：

每次試驗只有兩種結(jié)果，即 X=1，或 X=0
各次試驗中的事件互相獨立，且 X=1 和 X=0 的概率分別為 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利試驗的結(jié)果就是 n 重伯努利分布，即二項分布。反之，當 Xn(n=1) 時，二項分布的結(jié)果服從于伯努利分布。因為二項分布實際上是進行了 n 次的伯努利分布，所以二項分布的離散型隨機變量期望為 E(x)=np，方差為 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，滿足二項分布的樣本空間有一個非常重要的性質(zhì)，假設(shè)進行 n 次獨立試驗，滿足二項分布（每次試驗成功的概率為 p，失敗的概率為 1?p），那么成功的次數(shù) X 就是一個參數(shù)為 n 和 p 的二項隨機變量，即滿足下述公式：

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

X=k，試驗 n 次，成功的次數(shù)恰好有 k 次的隨機變量（事件）
C(n, k)，表示從集合 n 中取出 k 個元素的組合數(shù)，結(jié)果為 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明參加雅思考試，每次考試的通過率 1/3，不通過率為 q=2/3。如果小明連續(xù)參加考試 4 次，那么恰好有兩次通過的概率是多少？
解析：因為每次考試只有兩種結(jié)果，通過或不通過，符合條件 (1)；每次考試結(jié)果互相獨立，且概率不變，符合條件 (2)。滿足二項分布樣本，代入公式求解得概率為：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二項分布概率直方圖：

圖形特性：

當 p=q 時，圖形是對稱的
當 p≠q 時，圖形呈偏態(tài)，p<q 與 p>q 的偏斜方向相反
當 (n+1)p 不為整數(shù)時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 時達到最大值
當 (n+1)p 為整數(shù)時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 時達到最大值

NOTE：當 n 很大時，即使 p≠q，二項分布概率直方圖的偏態(tài)也會逐漸降低，最終成為正態(tài)分布。也就是說，二項分布的極限情形即為正態(tài)分布，故當 n 很大時，二項分布的概率可用正態(tài)分布的概率作為近似值。那么 n 需要多大才可謂之大呢?
一般規(guī)定，當 p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 時，這時的 n 就足夠大了，可以用正態(tài)分布的概率作為近似值。則正態(tài)分布參數(shù) μ=np，σ^2=np(1-p) 。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的统计与分布之伯努利分布与二项分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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