這段時間復習了下網絡流模型，感覺比以前的理解有了長足進展，雖然我知道這東西難就難在建模上，而它的算法本身其實難度不大，但我還是決定說一些我的理解，畢竟理解了本質的東西運用起來才會更靈活。

最大流的求解一般有兩類算法（用費用流附帶求出的不列入考慮范圍），就是增廣路（FF）系列和預流推進（PF）系列。在很多地方都看到推薦使用后者，因為效率更高，但其實不然，今天我這篇文章就是要重點介紹前者，相信大家看了過后也會喜歡它的。

首先，那些一大堆的關于網絡的定義我就不說了，不明白的就先去看看書好了，我們約定S是源，T是匯，G表示殘余圖。增廣路算法其實相當好理解，因為只要在G中存在一條從S到T的通路，那沿這條路走，流量一定還可以增加，所以當求得最大流的時候一定不存在S-T通路。 那反過來成立么？顯然，因為我們有最小割最大流定理，所以由此就得到了FF算法的基本方法：

不斷的在G中找一條S-T通路，然后沿其增廣，直到無法找到。

至于用什么方法去找一條路，那就隨便了，BFS，DFS，甚至A*，你可以把你能想到的方法試個遍，看看哪個合胃口就用哪個吧。

注意那個用BFS的方法，它的官方名字叫Edmonds-Karp（EK），它和我們后面要說的費用流有很大的關系，這里先簡單提示一下。

那這方法的復雜度呢？如果是整數流（事實上分數流的話可以構造數據讓FF無法停止，這時候必須用到PF的方法），顯然每次至少增廣1的流量，每次查找O(E)條邊，增廣要O(V)的時間，因此復雜度為O((m+n)*U)，U是最大流。

聽上去很恐怖，其實EK算法的一個稍微精確的上界是O(VE^2)，還是很夸張。

那么，怎樣才能跑得更快呢？想想，每次用BFS求出的Shortest Path Tree（SPT），我們只關心了S-T最短路，其實還有很多信息沒有利用到，那么如果求一次SPT，我們可以增廣多次的話，是不是會好些？？

于是，引入層次圖的概念，說通俗點，就是求G的SPT，把G中每個頂點的距離S的標號d給求出來，保留所有的s->t中d[s]+1=d[t]的邊（注意可以不是SPT中的邊），最后再在層次圖中用多次BFS把所有的增廣路求出來增廣。

這樣看似更快了，其實沒有，因為分析復雜度依然是O(VE^2)，沒有改進，而且我們還要寫更多的代碼。那瓶頸在哪里呢？對了，就是那步在層次圖中用BFS來找增廣路。其實更好的方法是用DFS，一次就可以把所有的增廣路求出來，具體做法如下：

從S開始做DFS，一旦發現一條增廣路，于是就沿其增廣，然后DFS回退到離S最近的一條滿流的邊的起點處，并在圖中刪除該邊的終點，繼續搜索。

上面的算法就是著名的Dinic算法，它的復雜度為O(EV^2)（注意，看清楚2的位置），對于密圖有不小的改進。

事實上，我非常推薦在各類比賽中用Dinic算法，因為它實現簡單，而且實際運行速度快，比起PF算法好寫太多了！！

那單純的說好還是不行，要拿出依據來。關于PF算法的理論在本文中就不詳細敘述了，可能以后我會專門介紹它。一般的PF實現是O(V^4)的，而Relable-To-Front是O(V^3)，高標推進據稱是O(V^2*sqrt(E))，雖然它實際中確實比較快，但是PF的算法都有一個缺點，就是必須加啟發優化，至少是Gap優化，否則實際中會比較慢。因此，寫一個PF的代碼自然就比較多了。

上面基本上把最大流的算法盤點了一下，下面還是說一下最小費用流問題。

如果一個網絡的邊不僅有容量，還有單位流量費用的話，那我們自然想在求得最大流的同時，使總費用更低。因此，最小費用流實際上是一個更通用的模型，因而其應用也更廣。

令 人驚奇的是，解決該問題可以不需要先求出最大流來（當然也有方法需要），所以如果你不想記那么多算法的話只知道該算法也沒問題。因為費用流的算法如果說復 雜的話可以把線性規劃扯近來，所以先羅列下幾個基本方法，然后介紹最簡單的一種，其它的如果你有興趣可以自己找文章來看：

1、 連續最短路算法（Successive Shortest Path）；

2、 消圈算法（Cycle Canceling）；

3、 原始對偶算法（Primal Dual）；

4、 網絡單純形（Network Simplex）。

后面的兩個分別是前面兩個的高級優化版本，其基本的優化思路就是和我們上面論述的優化增廣類似，就是希望每次都能做幾次運算，不要一次用了就丟棄了。最好用的就是第一個方法，方法二在Algorithm in C圖論部分有詳細論述，我就不說了。

還記得剛才我說的EK么？其實如果我們用Dijkstra在G中找S-T最短路，而不是BFS的話，是不是就解決問題了呢？是的，完全正確，我把證明留給大家想，其實很簡單。

但是，有個問題，在G中存在負權的邊，用Dijkstra是不是不行了呢？非要用Bellman-Ford么？其實不然，只要原圖中沒有負環存在（有的話不存在最小費用），那么我們可以利用Johnson算法的重賦權技術把所有的邊先變成正權，然后以后每次增廣后再維護一下不就可以用高效的Dijkstra了？算法如下：

用Bellman-Ford求各點到S的高度標號d[]；

以后每求一次最短路，設標號為pi[]，那么執行：

For i=1 to v do

d[v]+=pi[v]

這樣一來，標號就一直合法了（具體證明還是留給大家吧）。

好了，說這么多理論，下篇文章將會說幾個具體的題目，加深對算法的理解。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/zen_chou/archive/2009/07/16/1525185.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转载】网络流和最小费用流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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