在圖像處理里面，偏微分主要體現在能量極小化上面，而這種極小化泛函往往包含變量的微分，所以只要掌握Euler-Lagrange方程就可以知道其演化方程了，而這個方程就是極小化能量泛函的解。輔以梯度下降法之類的迭代策略，和離散差分的實現，就可以在計算機上實現編程。
? ???那么研究者是怎樣找到這樣的泛函呢？關于偏微分方程或微分幾何的書（國外的教材）會有所涉及。自牛頓經典力學建立以來，人們發現現實世界中的相當多的模型適于用包含某個（或多個）變量的微分形式的等式來描述，在學習高數的時候所謂的微元法，其實就是這個東西。微元法加上一些物理定律（如熱力學定律）就可以建立模型了，這些模型就是常微分方程（關于一個變量的微分）或偏微分方程（關于多個變量的微分）。比如熱傳導方程里面，面元上的溫度變化率由單位時間內該面元熱量的吸收和釋放之差決定，其解就是初始溫度與高斯核函數的卷積，這個在過程在數學物理方程里面都能找到。把它引入圖像處理，就是原始圖像被（二維）高斯函數平滑，因為兩個方向方差相同，故對圖像各個方向平滑程度相同，就被稱作線性尺度空間，用公式表示就是dI/dt=div(gradient(I))。線性尺度空間的最大問題是對圖像邊緣的破壞，由此Perona—Malik對上述問題進行了改進，在梯度前面加了一個平滑控制函數（單調遞減），在梯度大時（存在邊緣）平滑程度小，梯度小時（非邊緣）平滑程度大，即所謂非線性擴散或各向異性擴散。后續的研究者在此基本演化方程后面添加不同的約束項或改變擴散控制函數，實現了問題的正則化，如經典的TV（total variations）模型。
? ?? ???再說水平集和Snake，兩者的基本形式我看是等價的，前者是演化方程，后者是極小化泛函，通過Euler-Lagrange方程即知。水平集的物理原型是火線擴散（frame front propagation）。想象一下一片森林被大火包圍，在無風的情況下大火會如何擴散呢？答案就是在大火與森林交界的曲線上，曲率大的地方擴散速度慢，曲率小的地方速度快。事實上晶體生長也遵循同樣的規律。我們可以用一個簡單的例子說明。往杯子里倒熱水，然后把水倒掉，杯底會有水的殘存。因為這時杯子是熱的，杯底的水會以比較快的速度蒸發。在蒸發過程里我們會發現，水滴四周邊界的消失（因為蒸發）呈現的就是上述規律—曲率小的地方速度快，曲率大則速度慢。圖像分割就是用這個變化的曲線去逼近目標邊界。往大處說，曲率意味著空間的彎曲。
? ?? ???國內工科出身并從事圖像處理的人因為數學原因不能對上述問題的本質有清楚的認識；而數學出身轉行到這一領域的研究者往往喜歡堆砌公式定理，本來活生生的實際問題被寫成天書，害人不淺。大家如果打算深入研究，不妨看一些國外的偏微分教程（漢譯即可），適于自學和理解。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于偏微分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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