在圖像處理里面，偏微分主要體現(xiàn)在能量極小化上面，而這種極小化泛函往往包含變量的微分，所以只要掌握Euler-Lagrange方程就可以知道其演化方程了，而這個(gè)方程就是極小化能量泛函的解。輔以梯度下降法之類的迭代策略，和離散差分的實(shí)現(xiàn)，就可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)編程。
? ???那么研究者是怎樣找到這樣的泛函呢？關(guān)于偏微分方程或微分幾何的書（國(guó)外的教材）會(huì)有所涉及。自牛頓經(jīng)典力學(xué)建立以來，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中的相當(dāng)多的模型適于用包含某個(gè)（或多個(gè)）變量的微分形式的等式來描述，在學(xué)習(xí)高數(shù)的時(shí)候所謂的微元法，其實(shí)就是這個(gè)東西。微元法加上一些物理定律（如熱力學(xué)定律）就可以建立模型了，這些模型就是常微分方程（關(guān)于一個(gè)變量的微分）或偏微分方程（關(guān)于多個(gè)變量的微分）。比如熱傳導(dǎo)方程里面，面元上的溫度變化率由單位時(shí)間內(nèi)該面元熱量的吸收和釋放之差決定，其解就是初始溫度與高斯核函數(shù)的卷積，這個(gè)在過程在數(shù)學(xué)物理方程里面都能找到。把它引入圖像處理，就是原始圖像被（二維）高斯函數(shù)平滑，因?yàn)閮蓚€(gè)方向方差相同，故對(duì)圖像各個(gè)方向平滑程度相同，就被稱作線性尺度空間，用公式表示就是dI/dt=div(gradient(I))。線性尺度空間的最大問題是對(duì)圖像邊緣的破壞，由此Perona—Malik對(duì)上述問題進(jìn)行了改進(jìn)，在梯度前面加了一個(gè)平滑控制函數(shù)（單調(diào)遞減），在梯度大時(shí)（存在邊緣）平滑程度小，梯度小時(shí)（非邊緣）平滑程度大，即所謂非線性擴(kuò)散或各向異性擴(kuò)散。后續(xù)的研究者在此基本演化方程后面添加不同的約束項(xiàng)或改變擴(kuò)散控制函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了問題的正則化，如經(jīng)典的TV（total variations）模型。
? ?? ???再說水平集和Snake，兩者的基本形式我看是等價(jià)的，前者是演化方程，后者是極小化泛函，通過Euler-Lagrange方程即知。水平集的物理原型是火線擴(kuò)散（frame front propagation）。想象一下一片森林被大火包圍，在無風(fēng)的情況下大火會(huì)如何擴(kuò)散呢？答案就是在大火與森林交界的曲線上，曲率大的地方擴(kuò)散速度慢，曲率小的地方速度快。事實(shí)上晶體生長(zhǎng)也遵循同樣的規(guī)律。我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明。往杯子里倒熱水，然后把水倒掉，杯底會(huì)有水的殘存。因?yàn)檫@時(shí)杯子是熱的，杯底的水會(huì)以比較快的速度蒸發(fā)。在蒸發(fā)過程里我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，水滴四周邊界的消失（因?yàn)檎舭l(fā)）呈現(xiàn)的就是上述規(guī)律—曲率小的地方速度快，曲率大則速度慢。圖像分割就是用這個(gè)變化的曲線去逼近目標(biāo)邊界。往大處說，曲率意味著空間的彎曲。
? ?? ???國(guó)內(nèi)工科出身并從事圖像處理的人因?yàn)閿?shù)學(xué)原因不能對(duì)上述問題的本質(zhì)有清楚的認(rèn)識(shí)；而數(shù)學(xué)出身轉(zhuǎn)行到這一領(lǐng)域的研究者往往喜歡堆砌公式定理，本來活生生的實(shí)際問題被寫成天書，害人不淺。大家如果打算深入研究，不妨看一些國(guó)外的偏微分教程（漢譯即可），適于自學(xué)和理解。

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總結(jié)

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