設X₁，X₂，……X_n是i.i.d.隨機變量，Y_n=(X₁+...+X_n)/n。若將X1，X2……Xn看做是隨機變量X的n次采樣，那么Y_n是X的采樣平均。E[Y_n]=E[X]，Var(Y_n)=Var(X_n)/n。

從圖形（圖……）中可以直觀看出，n越大，Y_n分布曲線就越陡峭，E[Y_n]在概率上就越能接近于m_x。然而，無論n如何大，總存在著這樣的可能性，使得Y_n落在設定的精度之外。

[……待續]

弱大數定律和強大數定律有相同的條件，區別在于結論。弱大數說依概率收斂，強大數說以概率1收斂（或者說幾乎處處收斂）。

依概率收斂的意思是，任意指定一個正數ε，無論n取多大，Xbar與μ的差大于ε的可能次數是無限的，但只要n足夠大（比如滿足切比雪夫不等式），差大于ε的次數占比趨于0。

[

1. 看弱大數定律的定義式和證明；

2. 注意區分弱大數定律定義式中的ε（ε₁）和極限定義中用的ε（ε₂），這是兩個不同的ε；

3. 用極限的定義去理解弱大數定律的定義式（對任意小的正數ε₂， 總能找到一個數N，使得當n>N時，弱大數定律定義式的P<ε₂）。

4. 從3中可看出，P永不能取得0，而只能在極限的概念上趨近于0。也就是上面說的，

a)無論n如何大，總存在著這樣的可能性，使得Y_n落在設定的精度之外；

b)Xbar與μ的差大于ε的可能次數是無限的，但占比趨于0。

]

以概率1收斂的意思是說只要n足夠大，任意指定一個正數ε，總能找到一個N，使n>N時，Xbar與μ的差大于ε的次數是有限的。

大數定律要求期望有限，否則大數定律不成立。

仍然以拋硬幣作為例子。

你拋了N次硬幣，總可以在數學上計算出各種可能情況的概率。如果N較小，或許可以觀察到全正面或全反面的情況；當N是一個大數，全正面或全反面的概率雖不能完全排除，但會迅速縮小。以大數定律的口吻來說，給定一個數ε1>0，總存在一個拋硬幣次數N， 當實驗次數大于N時，|出現正面頻率-1/2|>ε1的概率小于一個指定的數ε2（弱），或|出現正面頻率-1/2|>ε1只出現有限次（強）。[?]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的弱大数定律和强大数定律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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