斐波那契數(shù)列的鬼畜的性質(zhì)

斐波那契數(shù)列定理1

\(gcd(f[i],f[i+1])=1\)
利用輾轉(zhuǎn)相減法
證明：
\(gcd(f[i],f[i+1])\)
\(=gcd(f[i+1]-f[i],f[i])\)
\(=gcd(f[i-1],f[i])\)
\(=....\)
\(=gcd(f[1],f[2])=1\)

斐波那契數(shù)列定理2

\(f[m+n]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1]\)
證明：
\(f[m+n]=f[n+m-1]+f[n+m-2]\)
\(=2*f[n+m-1]+f[n+m-3]\)
\(=....\)
設(shè)\(f[n+m]=a[x]f[n+m-x]+b[x]f[n+m-x-1]\)
\(=a[x](f[n+m-x-1]+f[n+m-x-2])+b[x]f[n+m-x-1]\)
\(=(a[x]+b[x])f[n+m-x-1]+a[x]f[n+m-x-2]\)
所以
\(x=1\)時，\(a[1]=f[2]=1,b[1]=f[1]=1\)
\(x=2\)時，\(a[2]=f[1]+f[2]=f[3]=2,b[2]=a[1]=1\)
\(x=k+1\)時，\(a[k+1]=a[k]+b[k]=f[k+1]+f[k]=f[k+2],b[k+1]=a[k]=f[k+1]\)
所以，當\(x=n\)時
\(f[n+m]=a[n]f[m]+b[n]f[m+1]\)
\(=f[n+1]f[m]+f[n]f[m-1]\)

斐波那契數(shù)列定理3

\(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m])\)
由上面式子得到
\(gcd(f[n+m]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1],f[n])\)
\(=gcd(f[n+1]f[m],f[n])\)
\(=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m],f[n])\)
\(=1*gcd(f[m],f[n])\)
\(=gcd(f[m],f[n])\)

斐波那契數(shù)列定理4

\(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)
證明
\(gcd(f[n],f[n+m])\)
\(=gcd(f[n],f[n+m]\%f[m])\)
\(=gcd(f[n],f[m])\)
\(=gcd(f[n],f[(n+m)\%n])\)
這是輾轉(zhuǎn)相除的形式
所以，最后有
\(gcd(f[n],f[n+m])\)
\(=gcd(f[0],f[gcd(n,n+m)])\)
\(=f[gcd(n,n+m)]\)

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7799380.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斐波那契数列的鬼畜的性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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