21图结构的基本概念
圖結構的基本概念
圖的定義：用于描述多對多的網狀關系。
由用于表示事物的頂點（vertex）集合V，以及表示事物之間關系的邊（edge）集合E構成
記作G=（V，E）
頂點數目n>0，邊數目m≥0
V：非空有窮頂點（vertex）集
E ：V上的頂點對所構成的邊（edge）集
邊的概念：
1.邊---有向邊--------帶有方向的邊。
頂點v和w之間的有向邊表示成<v，w>
v：邊的尾（tail）； w：邊的頭（head）
邊是由v射入w的；
w是與v相鄰（adjacent）的頂點（w是v的鄰接點），有向邊也稱弧（arc）。
注意：<v，w>與 <w，v>是不同的邊。
有向邊用帶箭頭的線條表示，箭頭指向邊的頭
2.邊----無向邊-------不帶方向的邊
頂點v和w之間的無向邊表示成（v，w）。
邊是關聯于v和w。而v與w互為鄰接點。
注意：（v，w）與（w，v）表示同一條邊。
無向邊用不帶箭頭的線條表示。
另外：
邊表示頂點間的某種關系：
無向邊：對稱關系（如同志關系）
有向邊：非對稱關系（如領導和被領導關系）
單行道：有向邊；雙行道：無向邊
3.邊----加權邊--------邊附帶一個實數作為權
邊的權可以表示邊的長度、沿著邊旅行所需的費用或時間、工程（輸電線路、通信線路、高速公路等）造價等（這里只研究非負權）。
權又統稱為耗費（cost），俗稱長度（length），但不一定滿足三角不等式（兩邊之和大于第三邊）。
注意：畫圖形時，權標在邊的旁邊。
示例：
圖的圖形表示法（必須遵循以下五點）
1.圓圈表示頂點，線段表示邊
2.無向邊（v，w）不帶箭頭
3.有向邊<v，w>的線段帶箭頭，箭頭指向頂點w
4.加權邊的權標注在邊的旁邊
5.頂點名稱寫在圓圈內，或標注在圓圈旁邊
比如：頂點名稱用大寫字母A，B，C，D…，
或“北京”、“南京”、“上海”等
頂點變量名用小寫字母 v，w，s，…
或v0，v1，…
圖的種類
1.有向圖：邊都有向。
2.無向圖：邊都無向。
4.混和圖：有些邊有向，有些邊無向（可化為有向圖）。
5.簡單圖：無重復邊，無到自身的邊（形如<v,v>的邊）。
注意點：
無向簡單圖：兩個點之間最多只有一條邊 ，而且沒有自環（自回路）。
有向簡單圖：無自環，無重復邊（允許<v，w>和<w，v>同時存在）。
6. 多重圖：無上述限制。
注意點：
無向多重圖：圖中有重復邊；有到自身的邊(環)。
有向多重圖: 圖中允許有兩條<v，w>、<v，w>同時存在；也允許環存在。
7. 加權圖：邊均帶權。
邊權圖稱網（network），非加權圖也稱0/1圖。
邊的權通常不滿足三角不等式 ；“拓撲”結構圖。
重點
圖的相關術語：
1.有向圖的頂點度：
v的出度（out-degree）：v射出的邊數（以v為尾）
v的入度（in-degree）：射入v的邊數（以v為頭）
v的度（degree）：v的出度與入度之和
2.無向圖的頂點度：
v的度（degree）：與v關聯的邊數。
注意：
所有頂點的入度之和=出度之和=邊數（有向圖）
所有頂點的度數之和=邊數的兩倍（無向圖）
3.子圖
子圖就是原圖的一部分，由原圖中部分頂點，以及這些頂點之間的一部分邊組成的圖。但必須與原圖的那一部分一模一樣。
4. 路徑和回路
路徑（path） ：首尾相接的邊序列。
回路徑（cycle）：起點與終點重合的路徑
簡單路徑：邊不重復；
基本路徑：中間無重復頂點。
路徑 (path)(通路):首尾相接的邊序列。
起點和終點：路徑上的兩個端點。
路徑長度（length）：路徑上的邊數。
簡單路徑：頂點不重復
回路(cycle)(圈)：起點和終點相重合的簡單路徑
加權圖中的加權路徑耗費=路徑上邊耗費之和
5.無向圖的連通性
v與w連通（connected）：頂點v到w有路徑，也稱v可到達w。
孤立點：與任何點都不連通
孤懸邊：刪除邊（v，w）后，v或w就變成孤立點。
連通圖（connected graph）：任何兩頂點都連通。
連通分量（connected component）：極大連通子圖，連通圖只含一個連通分量。（極大指的是在滿足連通的條件下，盡可能多的含有圖中的頂點以及這些頂點之間的邊。）
6.有向圖的連通性
v與w連通（connected）：v到頂點w路徑，也稱v可到達w。
強連通圖（strongly connected graph）：任何兩點v和w均相互連通。
強連通分量（strongly connected components，或strong components）：
極大強連通子圖，強連通圖只含一個強連通分量。
注意：
v和w單向連通：v到w有路徑（v可達w）。
v和w互連通的（雙向連通）：v到w，和w到v都有路徑。
強連通的（strong connected）：G中任何兩個頂點都互連通。
強連通分量（connected component）：G'=(V'，E')是G=(V，E)的由V'導出的強連通子圖，而且V-V'中的任何頂點都不與V'中任何頂點雙向連通。
無向連通圖的生成樹（spanning tree）：
是圖的一種連通子圖，它含有圖的全部n個頂點，但只含有足以使圖保持連通的n-1條邊。
生成樹也稱支撐樹，生成樹不唯一。
生成森林（spanning forest）：無向非連通圖每個連通分量有一棵生成樹，構成圖的生成森林。
圖如何以矩陣形式存儲？--------鄰接矩陣
頂點表示事物，邊表示事物間的關系，對應的關系矩陣。
頂點對應矩陣的行列號，邊對應矩陣元素值。
0/1圖對應的鄰接矩陣是0/1矩陣：頂點v和w之間有邊，矩陣第v行第w列元素值為1；否則為0。
加權圖對應的鄰接矩陣（也稱耗費矩陣）是實數矩陣：對角線元素值均為0；頂點v和w之間有邊，矩陣第v行第w列的元素值為該邊的長度 ；否則為∞。
注意點：無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣。
鄰接矩陣的順序存儲：
因為鄰接矩陣是一個n×n的方陣，所以可采用一般矩陣的存儲方式。
（1）二維數組存儲
最直觀的存儲方式用二維數組（比如a[n][n]）存儲稱為圖的鄰接數組（adjacency array）。
優點：可直接從v行w列讀出邊<v，w>信息
缺點：存儲量較大
適用情況：邊數相對較多的有向圖
存儲效率分析：
鄰接數組存儲法（無論是否壓縮）是邊集的一種順序存儲方式。
優點：簡單，極易在圖中查找、插入、刪除一條邊
缺點：存儲n個頂點的圖，要占用O(n2)個存儲單元
（無論圖中實際含多少條邊）
圖的讀入、存儲空間的初始化等需要花費O(n2)個單位時間。
對于邊數m<<n2時的稀疏圖是不經濟的。
存儲稀疏圖最好采用鄰接表法。
鄰接表
概念：頂點v的所有鄰接點組成的表，稱為v的鄰接表L[v]，各頂點鄰接表總稱為圖的鄰接表 （adjacency lists），鄰接表采用鏈式存儲（即鄰接鏈表），L[v]中每個結點對應圖中一條邊，稱為邊結點。
對有向圖，若存在邊<v，w>，則w處于L[v]中。
對無向圖，若存在邊(v，w)，則w處于L[v]中，同時v也 處于L[w]中。
n個頂點的鄰接鏈表構成一個鏈表組，使用一個表頭指針數組將n個鏈表結合在一起。
鄰接表通常設計成單向鏈表形式，根據需要，也可設計成雙向的、或其他形式的鏈表。
（2）邊結點結構
不同的圖采用不同的邊結點結構
下面分別介紹加權圖和0/1圖的邊結點結構定義形式
（1）加權圖的邊結點類型定義：
含有鄰接點名稱（編號）域、邊的長度（耗費）域和指向下一個邊結點的指針域。
邊結點的類型定義：
typedef struct edge_node
{ int adjacent; // 鄰接點名稱域
cost_type cost; // 邊的耗費域
struct edge_node *next; //指各下一個邊結點
} edge_node, *Eptr;
（2）0/1圖的邊結點類型定義：
含有鄰接點名稱(編號)域和指向下一個邊結點的指針域。
邊結點的類型定義：
typedef struct edge_node
{ int adjacent; // 鄰接點名稱域
struct edge_node *next; //指各下一個邊結點
} edge_node, *Eptr;
（3）鄰接鏈表的表頭結點（頂點結點）結構定義：
含有頂點名稱域和指向鄰接表首結點的指針域。必要時，可增加其他域。
頂點結點的類型定義：
typedef struct edge_node
{ Vname_type name ; //頂點名，用于由號查名
Eptr firstedge ; //鄰接表的首指針
} hnode ;
表頭結點組定義為：
hnode L[n]; //n為具體頂點數
總結
以上是生活随笔為你收集整理的21图结构的基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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