一、向量的內積

1.1向量內積的定義

概括地說，向量的內積（點乘/點積/數量積）就是對兩個向量執行點乘運算，即對這兩個向量對應位一一相乘之后求和的操作，如下所示，對于向量a和向量b：

a和b的點積公式為：

這里要求一維向量a和向量b的行列數相同。注意：點乘的結果是一個標量(數量而不是向量).

定義：兩個向量a與b的內積為a·b= |a||b|cos∠(a, b)，特別地，0·a=a·0= 0；若a，b是非零向量，則a與b正交的充要條件是a·b= 0。

1.2向量內積的性質

a^2 ≥0；當a^2 = 0時，必有a = 0（正定性）
a·b = b·a （對稱性）
(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，對任意實數λ, μ成立（線性）
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
|a·b| ≤|a||b|，等號只在a與b共線時成立

1.3向量內積的幾何意義

內積（點乘）的幾何意義包括：

表征或計算兩個向量之間的夾角
b向量在a向量方向上的投影

公式推導過程如下，首先看一下向量組成：

根據余弦定理有：

將c=a-b帶入上式中得出：

因此可以得出：

向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：

進而可以進一步判斷兩個向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向關系，具體對應關系為：

a?b>0→方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a?b=0→正交，相互垂直
a?b<0→方向基本相反，夾角在90°到180°之間

二、向量的外積

2.1向量外積的定義

概括地說，兩個向量的外積，又叫叉乘、叉積向量積，其運算結果是一個向量而不是一個標量。并且兩個向量的外積與這兩個向量組成的坐標平面垂直。

定義：向量a與b的外積a×b是一個向量，其長度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a與b。并且，(a,b,a×b)構成右手系。 特別地，0×a= a×0= 0.此外，對任意向量a，a×a=0。

對于向量a和向量b：

a和b的外積公式為：

其中：

根據i、j、k間關系，有：

2.2向量外積的性質

a×b= -b×a. （反稱性）
(λa+ μb) ×c= λ(a×c) + μ(b×c). （線性）

2.3向量外積的幾何意義

在三維幾何中，向量a和向量b的外積結果稱為法向量，該向量垂直于a和b向量構成的平面。在3D圖像學中，外積的概念非常有用，可以通過兩個向量的外積，生成第三個垂直于a，b的法向量，從而構建X、Y、Z坐標系。如下圖所示：

在二維空間中，外積還有另外一個幾何意義：|a×b|在數值上等于由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。

總結

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