一、向量的內(nèi)積

1.1向量內(nèi)積的定義

概括地說，向量的內(nèi)積（點乘/點積/數(shù)量積）就是對兩個向量執(zhí)行點乘運算，即對這兩個向量對應(yīng)位一一相乘之后求和的操作，如下所示，對于向量a和向量b：

a和b的點積公式為：

這里要求一維向量a和向量b的行列數(shù)相同。注意：點乘的結(jié)果是一個標(biāo)量(數(shù)量而不是向量).

定義：兩個向量a與b的內(nèi)積為a·b= |a||b|cos∠(a, b)，特別地，0·a=a·0= 0；若a，b是非零向量，則a與b正交的充要條件是a·b= 0。

1.2向量內(nèi)積的性質(zhì)

a^2 ≥0；當(dāng)a^2 = 0時，必有a = 0（正定性）
a·b = b·a （對稱性）
(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，對任意實數(shù)λ, μ成立（線性）
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
|a·b| ≤|a||b|，等號只在a與b共線時成立

1.3向量內(nèi)積的幾何意義

內(nèi)積（點乘）的幾何意義包括：

表征或計算兩個向量之間的夾角
b向量在a向量方向上的投影

公式推導(dǎo)過程如下，首先看一下向量組成：

根據(jù)余弦定理有：

將c=a-b帶入上式中得出：

因此可以得出：

向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：

進而可以進一步判斷兩個向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向關(guān)系，具體對應(yīng)關(guān)系為：

a?b>0→方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a?b=0→正交，相互垂直
a?b<0→方向基本相反，夾角在90°到180°之間

二、向量的外積

2.1向量外積的定義

概括地說，兩個向量的外積，又叫叉乘、叉積向量積，其運算結(jié)果是一個向量而不是一個標(biāo)量。并且兩個向量的外積與這兩個向量組成的坐標(biāo)平面垂直。

定義：向量a與b的外積a×b是一個向量，其長度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a與b。并且，(a,b,a×b)構(gòu)成右手系。 特別地，0×a= a×0= 0.此外，對任意向量a，a×a=0。

對于向量a和向量b：

a和b的外積公式為：

其中：

根據(jù)i、j、k間關(guān)系，有：

2.2向量外積的性質(zhì)

a×b= -b×a. （反稱性）
(λa+ μb) ×c= λ(a×c) + μ(b×c). （線性）

2.3向量外積的幾何意義

在三維幾何中，向量a和向量b的外積結(jié)果稱為法向量，該向量垂直于a和b向量構(gòu)成的平面。在3D圖像學(xué)中，外積的概念非常有用，可以通過兩個向量的外積，生成第三個垂直于a，b的法向量，從而構(gòu)建X、Y、Z坐標(biāo)系。如下圖所示：

在二維空間中，外積還有另外一個幾何意義：|a×b|在數(shù)值上等于由向量a和向量b構(gòu)成的平行四邊形的面積。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量内积&amp;外积的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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