我真的是覺得這門課太虛了。。這個總結基于名教材《自動機理論、語言和計算導論》（機械工業），也可以說是這本書的總結。由于這門課里很多羅馬字母，打字很困難所以能省略的公式都不寫了，可以算是入門介紹了。這里省略的內容，看看書就明白了。

A. 概念入門

1.有窮自動機：對于一個系統，如果說他有有限個狀態，在這些狀態間響應外部輸入并按照一定規則切換，又能記憶當前狀態，則稱該系統為有窮自動機。比如一個開關。有開和關兩態，如果當前態為開，撥動開關狀態將成為關，反之亦然。所以開關是一個有窮自動機。

2.形式化證明：計算機也可以認為是復雜的自動機，對于一個自動機系統能夠做什么并不顯而易見，比如人們認為很多事情是計算機無法實現的。為了驗證這種可能性避免無用功，引入了形式化證明的概念。包括演繹證明和歸納證明。分別對應我們高中學過的一般證明和歸納法。技巧包括反證法等等。

3.自動機理論的中心概念：就是字母表，串和語言。顧名思義字母組成串（句子），串組成語言。

看看這些東西覺得這門課真夠虛。。。= =

B.有窮自動機的分類

我們知道有窮自動機之所以有窮，是說其狀態有限，但是在某個時刻自動機能否只處于一個狀態來看，有窮自動機可以分為確定型和非確定型有窮自動機。后者可以利用算法“編譯”成前者。

1.確定型有窮自動機（DFA）：有有窮狀態集合和輸入符號集合，轉移函數，初始狀態，以及一個終結狀態集合。表示為 。DFA的狀態圖：用箭頭來表示狀態間的轉換，用圓圈+文字表示狀態，用一個同心圓表示終結狀態，用start表示開始狀態。狀態表：可以想象。

2.DFA上的語言——正則語言：正則語言定義為讓初始狀態到達一個結束狀態的串的集合。

　　這個串必須能滿足DFA的轉移函數，也就是自動機改變狀態的那個規則。為了讓這個函數能夠處理一串輸入，我們假設xa是一個以a結尾的串，并且σ是處理一個狀態和一個輸入的函數，σ0為一個狀態和一串輸入的函數，那么σ0(q,xa)=σ(σ0(q,x),a)。如果學過動態規劃，這個和狀態轉移函數很像，不難理解。如果假設σ0(q,x)=p,那么相當于σ0(q,xa)=σ(p,a)，可以用這個思想逐步分解一個串輸入。

3.非確定型有窮自動機（NFA）：可以說是另一種看事物的角度吧。舉個例子，要接受所有以01結尾的字串，用q0表示開始搜索狀態，q1表示找到了一個0的狀態，q2表示緊接著找到了1（也就是說查找結束）。對于q0來說，如果下一個符號是1，他必須返回自身，因為這肯定不是我們要找的01結尾，如果下一個是0，他也不一定就是結尾的那個0，也可以返回自身，但是畢竟他是0，所以一旦找到一個0，就是可以進入狀態q1了。也就是說，對于輸入0來說，可以處在q0q1兩個狀態，所以就是NFA了。NFA也可以擴展轉移函數σ

4.NFA和DFA的等價性。任何NFA都可以用DFA描述，但是狀態可能略多。下面通過一個例子來看看怎么轉化

?

下面是一個NFA狀態表
0 1
->p {p,q} {p}
q {r} {r}
r {s} Φ
*s {s} {s}
算法是，初始狀態為p，他指向兩個狀態，我們把{p,q}作為一個狀態考慮，輸入0的時候，p->{p,q},q->{r},也就是說{p,q}->{p,q,r}，同理輸入1時{p,q}->{p,r}。終結狀態是S，
而包含s的狀態集包括{s},{ps},{pqs},{qs},{rs},{prs},{qrs},{qprs}，這些都是DFA的終結狀態，但是其中很多不可能達到。
相信大家已經知道怎么算了A = {p}; B = {p,q}; C = {p,r}; D = {p,q,r}; E = {p,q,s}; F = {p,q,r,s}; G = {p,r,s}; H = {p,s}.0 1

->A B A
B D C
C E A
D F C
*E F G

*F F G
*G E H
*H E H

?5.帶ε轉移的有窮自動機

　　這種自動機的思想就是允許無條件狀態轉向。舉例，在一串字符中查找字符串web和ebay，可以將任意字符狀態定義成q0，將進入查找A設為q1，查找B設為q2。q0到q1q2是無條件的帶ε轉移，因為這三個狀態都沒有觸發關鍵字（比如w和e），都是任意字符輸入狀態。

　　ε閉包ECLOSE(P)定義為從狀態P通過ε通路能到達的所有狀態（包括P）的集合。從上面的描述可以看出ε轉移是可以消去的（比如我們可以不定義q1q2，直接設置一個觸發w的狀態q3和觸發e的狀態q4）。具體的方法看課本P55-56

C.正則表達式

1. 運算符：取并的+運算，連接，*是正則表達式的三種基本運算。*代表任意數量個他左邊的單位。

比如：字母表{a,b,c}上至少一個a和至少一個b的集合：分析一下，如果a在b之前，那么出現第一個a之前，可以有任意個c，即為c*，隨后出現1個a，任意數量的a或c（或的概念往往通過取并表示），然后出現一個b，后面的字符串就可以隨便取a或b或c，那么表達為c*a(a+c)*b(a+b+c)*，類似b在a前面也一樣，最終結果是c*a(a+c)*b(a+b+c)* + c*b(b+c)*a(a+b+c)*

2.正則表達式的代數定律

　　把這個放到前面來會讓問題更簡單。除了一些結合律交換律分配律等等大家可以自己衡量對錯的數學定律，此外：

　　ε稱作單位元，εR=Rε=R. Φ稱作零元。?Φ*R=R*Φ=Φ,Φ+R=R。此外還有冪等律L+L=L，(L*)*=L*, Φ*=ε,ε*=ε

2.將DFA轉化為正則表達式

　　這個算法有點惡心所以花點篇幅。把DFA的狀態用自然數1~N表示，定義一個正則表達式Rij(K),表示DFA中從狀態i到j且中間不經過大于k的節點的輸入串，另外i=j的時候考慮到一個狀態的ε轉移就是它自身，所以ε也是一個符合要求的串。拿我們上面用的那個DFA的圖來看，R00(0)=ε+b,R01(0)=b。

確定了k=0的情況，就可以用歸納法了。我們來考慮k時的情形，所有不經過大于k的節點的路徑中，肯定包括不大于k-1的，因為不大于k-1肯定也就不大于k，換個角度看，這些路徑也根本不經過k；那么肯定還包括一些路徑是包括k的，這些路徑在第一次遇到k以前，可以認為是Rik(k-1)，隨后包括任意數量的k節點上的閉包Rkk(k-1)，隨后包括從k到j的一條已經沒k了的路徑Rkj(k-1),綜上這種路徑表示為Rij(k)=Rij(k-1)+Rik(k-1)Rkk(k-1)*Rkj(k-1)。這也就是我們要找的計算任意k的公式。但是這樣帶入后得到的正則表達式很長，需要化簡。

　　最終，DFA對應的正則表達式是所有以初始狀態為i，終結狀態為j的表達式的并。

3.消除狀態簡化運算

　　對于任意一個不是初始狀態也不是終結狀態的狀態，都肯定有一定的前驅節點和后繼結點，要消去這個節點，只需要用適當的正則式在它的每個前驅和每個后繼之間做一個連接就行了。具體的方法在P66-67，很簡單。

4.正則表達式轉化為自動機（一般是ε-NFA）簡單地說，正則表達式有三種微元，分別是R+S型，RS型，R*型，這三種可以轉化成三種基本的NFA，任何正則表達式都能通過三種微元組合成。這三種NFA見課本P70-71

D. 正則語言性質

1.正則語言具有封閉性，這和集合上的運算封閉性差不多，不多說了。能夠保證正則的運算包括：并，連接，閉包，交，補，差，反轉，同態和逆同態。同態就是把輸入串中每一個輸入都通過一個函數轉變成另一個串，該函數叫做串的同態。如果一個語言是正則的，針對其字母表的同態也是正則的，這是顯然的，因為就是做了個替換而已沒有本質變化啊。

2.泵引理：為了驗證一個語言是不是正則的，我們需要使用泵引理，該引理稱，對于任意一個正則語言W，一定能把他分解成W=xyz，其中|xyz|>=n,y!=Φ,|xy|<=n,而且xy*z一定也屬于w。下面通過一個例子說明一下泵引理的用法。

證明{0(m)1(m) | m>=1}不是正則語言，其中0(m)表示0的m次
我們假設這個語言是正則的，那么由于該語言的長度至少是2，所以n=2,將該語言分解成三部分，且|xy|<=2，只能令x=y=0,z=0(m-2)1(m),由于xy*z也屬于該正則語言，但是有任意個y的時候0的個數肯定和1的個數不等，也就是說這個語言不可能屬于{0(m)1(m)}得到矛盾，所以這個語言不是正則的。

3.測試正則語言是否為空：可以分別測試子正則語言是否為空

4.驗證正則語言中一對狀態是否等價：使用的填表算法是，橫軸為A.....(N-1),縱軸為中間狀態和接收狀態B.....N, 建一個三角形的表。如果A不是接收狀態但B是，那么{A,B}是一個可區分對，在其對應位置畫X，對于任意一對狀態{M,N},如果某個輸入下M指向A，N指向B，那么這一對狀態可區分，可以根據這個特點遞歸直到無法推出更多可區分狀態對為止，那么無法推出的狀態對就是等價的。

5.自動機最小化：可以想象求出等價狀態就是為了消去他們……自動機的最小化要求首先把等價狀態作為一個狀態，然后把從初始狀態不可達的狀態除去，重構自動機即可。

E. 上下文無關文法和語言

相比前面的內容，這一章更虛了……幾乎都是些不用腦子的東西

1. 上下文無關語言：可以認為是比正則語言更廣泛的一種語言，其“自然的遞歸記號”稱作文法。這些定義是什么意思無關緊要。簡單地說，文法就是描述語言的方法。而文法包括四個要素：符號的有窮集合（這些符號被稱作終結符號，類似于英語中的字母），變元的有窮集合（變元也被稱作非終結符或語法范疇，每一個變元代表了一類串，也就是一種語言），一個變元被稱作初始符號，以及一個規則（也稱作產生式）的集合。通俗地說，包括字母，語言集，一個基本語言和一個語法規則。文法縮寫式CFG，表達式是G=(V,T,P,S)。主要的應用是CFG描述語言并轉化為語法分析器，以及XML等標記語言語言結構。下面的例子可以迅速理解這些亂七八糟的東西

習題 定義一個CFG，它是一種表達式，但是運算符只有+和*，標識符必須由字母開頭，字母只有a和b，數字只有0和1。

分析：該文法需要兩個變元，一個代表了整個表達式稱作E（也是一個初始符號），一個代表了其中的標識符稱作I，我們能得到下面的“文法”

E->I //表示表達式可以由標識符組成

E->E+E //表達式可以由兩個表達式+成

E->E*E //表達式可以由兩個表達式*成

E->(E)

I->a //表達式可以由a組成

I->b

I->Ia //表達式可以由I與a連接成

I->Ib

I->I0

I->I1

我們來看看a*(a+b00)是否屬于這個語言。E=>E*E=>I*E=>a*E=>a*(E)=>a*(E+E)=>a*(I+I)=>a*(a+I0)=>a*(a+I00)=>a*(a+b00)

可見屬于這個語言。

上面的文法可以表示為I=>a|b|Ia|Ib|I0|I1 ,E=>I|E+E|E*E|(E),上述驗證過程稱作推導。如果每次只替換最左邊的變元，就稱作最左推導，反之稱作最右推導。利于該文法在終結符號集合上產生的語言稱作上下文無關語言(CFL)。由初始符號得到的表達式稱作句型，比如E+E就是一個句型，和最左最右推導融合后還有左句型和右句型的概念。

?2. 語法分析樹：也就是推導的另一種表示法。對于一個文法G來說，語法分析樹滿足每個內部節點的標號都是V的變元，每個葉節點可以是變元、終結符或者ε。一個節點的所有子節點按順序排列是這個節點對應變元的一個變換。推理和樹的互推非常淺顯，看兩個例子就明白了。

3. CFG和語言的歧義性：類似于1+2*3中先加還是先乘的問題，一個串可能有多個語法生成樹或者對應地，有多個最左推導或者最右推導，那么這個語言是有歧義的。某些文法無法消除歧義性，有些則沒有歧義性。一般的文法，消除歧義的方法就是使用優先級和結合律，比如規定始終左結合或者右結合。對應地，無歧義文法只有唯一最左或最右推導。

強制優先級是有效的消歧義方法，做法是引入不同的變元，其中因子是不能被相鄰運算符打斷的表達式，屬于因子的包括標識符本身和括號表達式。第二，項是不能被低級運算符打斷的表達式，第三就是普通的表達式。

由于這一部分很難語言描述，看題目比較容易明白，下面簡單說幾個習題的做法：?

習題 1.?證明如果一個串是括號匹配的，那么他能用文法B->BB|(B)|ε生成。
證明：如果串長度為1，首先他當然是括號匹配的，設為T，可以用T->TT->Tε生成，假設成立。
??????????現在假設串長度為K成立，設串為TK，那么K+1時，要想串是括號匹配的，則他只能是用若干個匹配串組合即T(K+1)->T(M)T(N)或者組合后加括號，或者添加若干ε，都可以用該文法生成。歸納結束
2.證明S->aS|aSbS|ε這個文法是歧義的，即對串aab有兩個語法分析樹，最左最右推導。思考在證明歧義性上面分析樹和最左右推導數量的等價性。
證明：最左推導：S->aS->aaSbS->aaεbS->aaεbε->aab,??S->aSbS->aaSbS->aaεbε->aab，最右推導和分析樹類似。
如果要制定一個沒有歧義的文法，因為原來文法的問題在于aab＝(aa)b或者a(ab)，所以需要強制結合性，這三個子表達式我們只能把結合性考慮在a、b都出現的aSbS上面，令b強制和前面的a結合就行了。做法是S->aTbS,?T->aTbT|ε

F. 下推自動機

?如同正則語言和有窮自動機等價，上下文無關語言和下推自動機(PDA)等價。下推自動機是附加了堆棧的ε-NFA。簡單地說，PDA有一個初始狀態和初始堆棧符號，之后他接受輸入改變狀態，根據當前輸入和狀態決定堆棧操作（壓棧或者彈出符號），最終到達終結狀態。公式P=(Q ,Σ, Γ, σ, Q₀,Z₀, F),分別對應狀態集合，輸入符號集合，堆棧字母表，轉移函數，初始狀態，初始堆棧符號和接收狀態集合。其中σ的自變量是狀態，輸入內容和堆棧字母符號（棧頂），輸出則是新狀態和堆棧符號串的對的有限集合，即σ(q,a,X)={(q' , r), ....}

下推自動機的圖形表示和NFA類似，但是從狀態p到q的標號a,X/r表示σ(p,a,X)的輸出集合中包含了(q,r)對。

?PDA的每個狀態可以用三個變量描述，q代表一個狀態，w是剩余的串，r為堆棧內容，(q,w,r)是一個PDA的瞬時描述(ID)。定義├符號是PDA從一個ID到另一個ID，用法如(q,aw,xβ)├(p,w,αβ),表示用剩余串的字符a代替了棧頂元素x，思考一下，如果x＝ε，這個式子代表了壓棧操作。

PDA有兩種接受方法，一種是到達終結狀態，稱作終結狀態方式接受， 一種是空棧方式接受。兩種構造方式下，PDA等價。那么自然，兩種方式可以相互轉化。從

終結狀態方式轉化到空棧，常用的方法是添加一個棧底標記符號X0,到達終結狀態的時候，添加一個轉移是從該狀態的ε輸入，彈出所有元素到空棧。例如σ(q, ε ,Y)={(q,ε)}

從文法到PDA，轉化方法是，對于每一個變元A，σ(q, ε, A)={(q,β)|A->β是文法的一個產生式}, 對于每一個終結符a，σ(q,a,a)={(q, ε)}

從PDA到文法，轉化方法是， 首先我們定義一個符號S為初始符號，以及所有形式為[pxq]的符號，pq是PDA中的狀態，X則是堆棧中的符號。

首先對于每一個狀態p，文法G都有產生式S->[q0Z0P], 也就是說初始符號能夠生成所有從初始ID出發到達空棧狀態的串w。其次，令 σ(q, a, X)包含一個輸出對(r,Y₁Y₂Y₃.......Y_K)，那么G應該有一個產生式[qXr_k]->a[rY₁r₁][r₁Y₂r₂]... [r_(k-1)Y_kr_k]，思考一下，這代表從狀態q到達狀態r(k)并從棧彈出X的一個方法是讀入a，之后讀入某些輸入，從棧中依次彈出 Y₁Y₂Y₃.......Y_K，并轉過一些中間狀態r r1 r2.....r(k-1)，最后達到rk。而r1r2...rk代表狀態集的每一個有序序列，比如一個PDA有pq兩個狀態，那么按照pq和qp的順序要生成兩次。（我承認沒說明白＝ ＝）

?

習題把文法S->0S1?|?A,?A->1A0?|?S|?ε轉化成空棧方式接受同樣語言的PDA，再把該PDA轉換成文法。
首先σ(q,?ε?,?S)={(q,?0S1),?(q,?A)},?σ(q,?ε,?A)={(q,1A0),?(q,S),?(q,?ε?)}
然后σ(q,?0,?0)={(q,?ε)},?σ(q,?1,?1)={(q,ε)}
這就是我們構造出的PDA的轉移函數，對應PDA是P=(?{q},?{0,1},?{0,?1,?S,?A},?σ,?q,?S)
下面我們把這個PDA轉成文法
設置一個初始狀態S，那么S->[qSq],?而因為σ(q,?ε?,?S)={(q,?0S1),?(q,?A)}，[qSq]->ε[q0q][qSq][q1q]
[qSq]->ε[qAq],?[qAq]->[q1q][qAq][q0q],?[qAq]->[qSq],?[qAq]->[qεq]
[q0q]->0[qεq]=0,?[q1q]->1[qεq]=1;
簡化上面的式子，可以看到
[qSq]->0[qSq]1?|?[qAq]?,?[qAq]->1[qAq]0?|?[qSq]?|?ε
用A代替[qAq],?S代替[qSq]，可以得到題目中的文法

可以進一步感受到文法和PDA的等價性。

G.CFL的性質

1.首先討論所謂CFG的范式，即任何不是ε的CFL都能用只有A->BC或者A->a形式的產生式的CFG產生，其中ABC是變元，a是終結符，這種形式稱作喬姆斯基范式。為了求出范式，我們要先給出一些定義。首先如果某個終結串w有X-*>w（-*>為任意多步數轉化），稱X是產生的。任何終結符都是產生的。此外，如果對于某個串 α和β有S-*>αXβ，稱X是可達的。

　　首先去掉無用符號，做法是去掉非產生符號和所有包含這些符號的產生式，之后去除非可達符號。而且他們產生的語言是相同的。在這個過程中有幾點注意事項：首先，文法G的終結符號集合T中的符號都是產生的，那么假定一個產生式A->α,而串α中的符號都是產生的，那么A也是產生的。通過這種方法得到的符號集也是這個文法中全部產生符號了。可見，尋找產生符號的過程是自底向上的，同樣，尋找可達符號是自頂向下的，而且得到的也是全部可達符號。
　　然后去ε產生式。回想一下 ε，它在一個語言中不是必需的，如果一個語言有對應的CFG，那么他去掉ε后也有一個對應的不含ε產生式的CFG，如果CFG有一個產生式A->w,w中所有符號都可空或者w就是ε，那么A是可空符號。構造一個除ε產生式的CFG的方法是，對于每個產生式A->BCDEF....，假定其中有m個可空符號，那么新文法中，這些可空符號每個都有存在和不存在兩種可能，共有2^m種組合，但是如果這些符號都可空，他們都不存在的話就是A->，這在新文法中不能出現，所以除去這種情況。這樣得到的文法是去ε產生式的。
對CFG???S->AB,A->aAA|ε,?B->bBB|ε
A,B都能直接生成ε，他們都是可空的，S生成符號都可空所以S可空。現在考慮生成式S->AB,A和B存在不存在共4中組合，但是AB都不存在是ε，要去掉，所以新文法中：S->AB|A|B,類似地，A->aAA|aA|a,?B->bBB|bB|b　 　之后去掉單位產生式，也就是A->B形式的產生式，其中AB必須都是變元。如果A-*>B，稱(A,B)為單位對。對于任意變元A, (A,A)是單位對，如果(A,B)是單位對，又有單位產生式B->C,那么(A,C)也是單位對。通過這個迭代可以得到所有單位對。之后對于每一 對單位對(A,B),如果有一個非單位產生式B->α，就把A->α放到新文法中，這樣得到的新聞法是不包含單位產生式的。首先去掉ε產生式，然后去單位產生式，最后去掉無用符號。這個順序可以保證結果是喬姆斯基范式(CNF)。但是對于CNF還有兩個要求，就是要用變元代替所有終結字符，如果有長度大于2的轉化，也要引入新的變元代替。例子將文法S->ASB|ε,?A->aAS|a,B->SbS|A|bb轉化為CNF
首先去ε產生式，只有S是可空的，那么檢查所有帶S的生成式并改正，為：
S->AB|ASB,?A->aA|aAS|a,B->Sb|bS|SbS|A|bb|b
然后去掉單位產生式，只有(B,A)是一個單位對，所以其它不變，?B?->?SbS?|?bS?|?Sb?|?b?|?aAS?|?aA?|?a?|?bb
最后檢查無用符號，結果是沒有
那么下面引入C->a,D->b
這樣還是有長度是3的生成式，引入新的變元代替他們，最后
?????S?->?AE?|?AB
?????A?->?CF?|?CA?|?a
?????B?->?SG?|?DS?|?SD?|?b?|?CF?|?CA?|?a?|?DD
?????C?->?a
?????D?->?b
?????E?->?SB
?????F?->?AS
?????G?->?DS

?2.下面給出CFL的泵引理證明某個語言不是上下文無關的：對于一個CFL L，存在常數n滿足：若L中的串z的長度>=n,就可以令z＝uvwxy, 且：|vwx|<=n, vx!=ε, 對于所有i>=0,uvⁱwxⁱy也屬于L。

3. CFL在代入、并、連接、閉包、反轉和逆同態運算下都封閉，但是交補運算下不封閉，但CFL和正則語言的交依舊是CFL。

4.存在算法可以判斷CFG是否產生至少一個串，CYK算法可以判定一個串是否屬于一個給定的CFL，測試時間是O(n³) ,n是串長度。詳細算法看課本。有些問題是不可判定的，比如某個CFG是不是歧義的，是不是固有歧義的，兩個CFG交是否為空……等等。

?H. 圖靈機導引

首先要說明的是某些問題是不能判定的。為了證明一個問題是不是不可判定的，可以對他進行構造抽象，再特殊化得到一個實例，再對實例構造……最后對一個抽象實例判定，即所謂歸約技術。但是有個更方便簡單的計算機模型就是圖靈機。簡單地說（其實也就是這樣）圖靈機(TM)由一條劃分成單元的帶子和一個有窮控制單位組成。 單元上記錄有一個輸入符號，圖靈機的一步可以改變狀態或者在掃描的單元中寫符號或者移動帶頭。沒有輸入的單元用空格填充。空格不是輸入符號，但是是圖靈機的一個帶符號。圖靈機M＝(Q, Σ, Γ, σ ,q₀,B,F),分別代表狀態的有窮集合，輸入符號集合，帶符號集合，轉移函數，初始狀態，空格和終結狀態。其中σ(q,X)=(p,Y,D)，表示某個狀態q下正在掃描X，轉移到狀態p，在X的位置上寫下Y，并向左或右移(D=L或R).同樣圖靈機也有ID，是用X₁X₂...X_i-1qX_iX_i+1...X_n表示的，其中q是TM的當前狀態，而帶頭正在掃描第i個符號(Xi)，剩下的內容表示Xi左邊和右邊空格之內的部分。圖靈機的轉移圖上弧標記形如0/0->，表示在此狀態下將0改寫成0，并右移。

同樣圖靈機也和一種語言等價，即遞歸可枚舉語言(RE)。此外，如果圖靈機在某狀態下掃描到一個未定義的輸入 ，則停機。為了用圖靈機生成字符串，比較有用的技巧包括用狀態存儲，多道和子程序。此外還有多帶圖靈機，并可以證明它和單帶圖靈機等價。類似DFA和NFA的關系，也存在非確定圖靈機(NTM)，同樣NTM和TM也能相互轉化。對TM稍作改造可以形成半無窮帶TM、多堆棧機器和計數器機器。此外計算機和圖靈機可以互相模擬。

?I. 不可判定性

?圖靈機接受RE，對于一個輸入語言，TM有兩種行為。一種是經過狀態轉變最終停機，不管是接收狀態的停機還是不接受狀態停機，這種情形稱作有算法。而另一種就是陷入死循環，這種問題稱作不可判定性問題。首先，對角化語言非RE：簡單地說，將一個圖靈機進行編碼。圖靈機的狀態和符號都可以枚舉成數字，方向有兩個，轉移函數也就因此可以編碼，從而圖靈機可以編碼成二進制串。而這些二進制串也可以枚舉。方法是在串前面加個1然后轉十進制，比如串0編碼是第2個串。之后建表將對角線取補得到的語言可以確定不被任何圖靈機接受。對角化語言Ld是非遞歸可枚舉的。

從前面可以看到，RE也非為遞歸語言和非遞歸語言。遞歸語言的補也遞歸，同樣，語言L和他的補都是RE，那么L遞歸。

對于每個TM M和它接受的語言w可以組成有序對(M,w),有序對的集合產生的語言即所謂通用語言Lu，而Lu一定有接受它的圖靈機，即通用圖靈機。盡管如此，Lu不可判定。

?

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到此自動機的總結完成，雖然說不可判定性和難解問題還有一些沒有說，但是貌似考試大綱不包括這些內容。下面為了方便有一個縮略詞表：

?CFG 上下文無關文法 CFL 上下文無關語言 CNF 合取范式 DFA有窮狀態自動機 DPDA 確定型下推自動機 ID 瞬時描述 NFA 非確定型有窮自動機 PDA 下推自動機 TM 圖靈機 RE 遞歸可枚舉語言 NTM 非確定圖靈機

轉載于:https://www.cnblogs.com/superx/archive/2010/12/13/1868673.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的自动机理论、形式语言和计算导论提纲的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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