我在前面的文章《音頻開源代碼中重采樣算法的評(píng)估與選擇 》中說過sinc方法是較好的音頻重采樣方法，缺點(diǎn)是運(yùn)算量大。https://ccrma.stanford.edu/~jos/resample/ 給出了sinc方法的原理文檔和軟件實(shí)現(xiàn)。以前是使用這個(gè)算法，沒太關(guān)注原理和實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。去年（2020年）由于項(xiàng)目的需要和組內(nèi)同學(xué)把這個(gè)算法的原理和軟件實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)搞清楚了。本文先講講sinc方法的原理，后面文章會(huì)講講軟件實(shí)現(xiàn)的細(xì)節(jié)。

1，sinc函數(shù)和信號(hào)的采樣與重建

在數(shù)字信號(hào)處理中，sinc函數(shù)定義為：

當(dāng)x = 0時(shí)，sinc函數(shù)值為1，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)sinc函數(shù)值為0（這些整數(shù)點(diǎn)x稱為過零點(diǎn)）。可以畫出sinc函數(shù)的波形圖如下：

可以看出sinc函數(shù)是連續(xù)無限且關(guān)于Y軸對(duì)稱的（即sinc函數(shù)是偶函數(shù)）。

采樣定理說如果模擬信號(hào)x(t)包含的最大頻率是F_max且以F_s> 2F_max的頻率被采樣，那么x(t)可以用插值函數(shù)：

從它的樣本重建。這里的插值函數(shù)就是sinc函數(shù)。重建后的x(t)可表達(dá)為：

這里x(n/F_s) = x(nT_s) = x(n)是x(t)的采樣點(diǎn)值。Fs是采樣頻率，Ts是采樣間隔，F(xiàn)s = 1/Ts。

2，重采樣

把數(shù)字信號(hào)的采樣率從一個(gè)頻率轉(zhuǎn)換為一個(gè)另不同頻率的過程稱為重采樣（sampling rate conversion，SRC）。上面采樣定理說過如果信號(hào)的帶寬小于采樣率的一半，就可以用插值從樣本重建信號(hào)。用新的采樣率采樣這個(gè)重建的信號(hào)，就可以實(shí)現(xiàn)重采樣。

假設(shè)以F_x=1/T_x采樣一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)，生成離散信號(hào)x(nT_x)。使用插值公式：

可以從樣本x(nT_x)生成連續(xù)信號(hào)y(t)。如果x(t)的帶寬小于F_x/2且

那么y(t) = x(t)。為了實(shí)現(xiàn)重采樣，只需要以時(shí)間間隔t=mT_y對(duì)y(t)進(jìn)行求值即可，F(xiàn)_y=1/T_y是新的采樣率。

重新組織g(t)的參數(shù)：

mT_y/T_x可以分解成整數(shù)部分k_m和分?jǐn)?shù)部分

所以

令k=k_m-n，所以 n =k_m – k, 從而

考慮到有上下采樣，文檔（https://ccrma.stanford.edu/~jos/resample/）給出插值函數(shù)為：

其中F_x為原采樣率，F(xiàn)_y為新采樣率。

令 A= min(1, Fy / Fx), B = min(Fx, Fy)， ρ = Fy / Fx = Tx / Ty, 則g(t)可表示為

所以

在上式中，x和y信號(hào)離散化后，在x信號(hào)和y信號(hào)中的T_x，T_y可以去掉了。式子就變成了如下：

上式中BT_x在F_x，F_y已知的情況下是個(gè)常數(shù)_。

令D=BT_{x，上式就變成了：}

當(dāng)上采樣時(shí)B=F_x，則D=F_xT_x=1，A=1，所以式子重寫為：

當(dāng)下采樣時(shí)B=F_y， 則D= F_yT_x =ρ A=ρ，所以式子重寫為：

從上面的式子可以看出，新的采樣率下的值是原采樣率下的值和相對(duì)應(yīng)的sinc函數(shù)的值的乘累加。由于sinc函數(shù)是連續(xù)且無限的，真正實(shí)現(xiàn)時(shí)是無法做到的，所以這兒通過截?cái)鄐inc函數(shù)并離散化，來獲得近似信號(hào)。在文檔（https://ccrma.stanford.edu/~jos/resample/）中，使用Kaiser window加窗截?cái)?，通過線性插值采樣后的樣本來模擬脈沖響應(yīng)的連續(xù)性，獲得很好的效果。

至此基于sinc方法的重采樣原理就講完了，即新的采樣率下的值是原采樣率下的值和相對(duì)應(yīng)的sinc函數(shù)的乘累加。如果此時(shí)去看相關(guān)的代碼實(shí)現(xiàn)，很大可能是一頭霧水，下篇將講怎么基于原理去做軟件實(shí)現(xiàn)以及實(shí)現(xiàn)中的一些細(xì)節(jié)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于sinc的音频重采样（一）：原理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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