線性代數真難，而且這個學期就要結課。學到現在（矩陣的分塊），個人感覺最難的還是行列式的計算。哎哎。不過好在這些東西很有套路性，經過一番學習后，我就來總結一下——

行列式的分類

第一類 范德蒙德行列式

占坑

第二類 箭頭行列式（爪型行列式）

此類行列式以形狀酷似箭頭而得名。

如下是一個箭頭行列式。

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&p&p& cdots &p\
q&{x2}&{}&{}&{}\
q&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

要計算這種行列式，只需設法將箭頭的任意一側消去，得到一個三角行列式后即可快速計算。
現在以消去左箭頭，即第一列為例：
若想消去第一列的第二個元素q，則將第二列整體乘以(-frac{q}{x2})后加到第一列，得到

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + p( - frac{q}{{x2}})}&p&p& cdots &p\
0&{x2}&{}&{}&{}\
q&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

若想消去第一列的第三個元素q，則將第三列整體乘以(-frac{q}{x3})后加到第一列，得到

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + p( - frac{q}{{x2}})+p( - frac{q}{{x3}})}&p&p& cdots &p\
0&{x2}&{}&{}&{}\
0&{}&{x3}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
q&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

這個操作重復多次，直到得到上三角行列式

(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 - pqsumlimits_{i = 2}^n {_{}} frac{1}{{xi}}}&p&p& cdots &p\
{}&{x2}&{}&{}&{}\
{}&{}&{x3}&{}&{}\
{}&{}&{}& ddots &{}\
{}&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

解得
(Dn = (x1 - pqsumlimits_{i = 2}^nfrac{1}{{xi}})prodlimits_{i = 2}^n {xi}).

第三類 兩三角型行列式

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&b&b& cdots &b\
a&{x2}&b& cdots &b\
a&a&{x3}& cdots &b\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)

兩三角形行列式就像所有的0都被填滿了的上三角和下三角行列式。主對角線上下的元素都分別為(a)和(b)

1.當(a=b)時：

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&a&a& cdots &a\
a&{x2}&a& cdots &a\
a&a&{x3}& cdots &a\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)

如果能把主對角線下（或者上）方的所有a消去，得到一個箭頭行列式，再套用上面的方法，那么問題便可解決。
要想消去(a)得到(0)，經過觀察發現，第二列及其之后的所有列的第一個元素都是(a)，那么讓從第二行開始的每一行都減去第一行即可。得到

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&a&a&a&a\
{a - x1}&{x2 - a}&{}&{}&{}\
{a - x1}&{}&{x3 - a}&{}&{}\
cdots &{}&{}& ddots &{}\
{a - x1}&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

化成箭頭行列式：

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1 + a(x1 - a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi - a}}} }&a&a&a&a\
0&{x2 - a}&{}&{}&{}\
0&{}&{x3 - a}&{}&{}\
vdots &{}&{}& ddots &{}\
0&{}&{}&{}&{xn}
end{array}} ight|)

解得(Dn=[x1 + a(x1 - a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi - a}}}]prodlimits_{i = 2}^n {(xi-a)})

2.當(a≠b)時

(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}}
{x1}&b&b& cdots &b\
a&{x2}&b& cdots &b\
a&a&{x3}& cdots &b\
cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \
a&a&a& cdots &{xn}
end{array}} ight|)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的行列式计算的归纳的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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