本講教育信息】

一.教學內容：

導數——平均變化率與瞬時變化率

二.本周教學目標：

1、了解導數概念的廣闊背景，體會導數的思想及其內涵．

2、通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義．

三.本周知識要點：

（一）平均變化率

1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖

2、一般地,函數f（x）在區間[x₁，x₂]上的平均變化率

平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”．

（二）瞬時變化率——導數

1、曲線的切線

如圖，設曲線c是函數的圖象，點是曲線c上一點作割線PQ，當點Q沿著曲線c無限地趨近于點P，割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P處的切線

割線PQ的斜率為，即當時，無限趨近于點P的斜率．

2、瞬時速度與瞬時加速度

1）瞬時速度定義：運動物體經過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度.

2）確定物體在某一點A處的瞬時速度的方法：

要確定物體在某一點A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移AA₁，求出物體在這段位移上的平均速度，這個平均速度可以近似地表示物體經過A點的瞬時速度.

當位移足夠小時，物體在這段時間內的運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經過A點的瞬時速度．

我們現在已經了解了一些關于瞬時速度的知識，現在已經知道物體做直線運動時，它的運動規律用函數表示為s＝s（t），也叫做物體的運動方程或位移公式，現在有兩個時刻t₀，t₀+Δt，現在問從t₀到t₀+Δt這段時間內，物體的位移、平均速度各是：

位移為Δs＝s（t₀+Δt）－s（t₀）（Δt稱時間增量）

平均速度

根據對瞬時速度的直觀描述，當位移足夠小，現在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短時，平均速度就等于瞬時速度.

現在是從t₀到t₀+Δt，這段時間是Δt.時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0．當Δt→0時，位移的平均變化率無限趨近于一個常數，那么稱這個常數為物體在t＝t₀的瞬時速度

同樣，計算運動物體速度的平均變化率，當Δt→0時，平均速度無限趨近于一個常數，那么這個常數為在t＝t₀時的瞬時加速度．

3、導數

設函數在（a,b）上有定義，．若無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數A，則稱f（x）在x＝處可導，并稱該常數A為函數在處的導數，記作．

幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率．

導函數（導數）：如果函數在開區間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數，稱這個函數為函數在開區間內的導函數，簡稱導數，也可記作．

【典型例題】

例1、水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積（單位：），計算第一個10s內V的平均變化率．

解：在區間[0，10]上，體積V的平均變化率為

即第一個10s內容器甲中水的體積的平均變化率為．

例2、已知函數，，分別計算在區間[－3，－1]，[0，5]上函數及的平均變化率．

解：函數在[－3，－1]上的平均變化率為

在[－3,－1]上的平均變化率為

函數在[0，5]上的平均變化率為

在[0，5]上的平均變化率為

例3、已知函數，分別計算函數在區間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率．

解：函數在區間[1，3]上的平均變化率為

函數在[1，2]上的平均變化率為

函數在[1，1.1]上的平均變化率為

函數在[1，1.001]上的平均變化率為

例4、物體自由落體的運動方程s＝s（t）＝gt²，其中位移單位m，時間單位s，g＝9.8 m/s².求t＝3這一時段的速度.

解：取一小段時間［3，3+Δt］，位置改變量Δs＝g（3+Δt）²－g·3²＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）

當Δt無限趨于0時，無限趨于3g＝29.4 m/s．

例5、已知質點M按規律s＝2t²+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），

（1）當t＝2，Δt＝0.01時，求.

（2）當t＝2，Δt＝0.001時，求.

（3）求質點M在t＝2時的瞬時速度.

分析：Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即平均速度，當Δt越小，求出的越接近某時刻的速度.

解：∵＝4t+2Δt

∴（1）當t＝2，Δt＝0.01時，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．

（2）當t＝2，Δt＝0.001時，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．

（3）Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s

例6、曲線的方程為y＝x²+1，那么求此曲線在點P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程．

解：設Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：

斜率為2

∴切線的斜率為2．

切線的方程為y－2＝2（x－1），即y＝2x．

【模擬試題】

1、若函數f（x）＝2x²+1，圖象上P（1,3）及鄰近點Q（1+Δx,3+Δy），則＝（）

A. 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx

2、一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么時，為（）

A.從時間到時，物體的平均速度；B.在時刻時該物體的瞬時速度；

C.當時間為時物體的速度； D.從時間到時物體的平均速度

3、已知曲線y＝2x²上一點A（1，2），求（1）點A處的切線的斜率.（2）點A處的切線方程.

4、求曲線y＝x²+1在點P（－2，5）處的切線方程．

5、求y＝2x²+4x在點x＝3處的導數．

6、一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s＝s（t）＝t²（位移單位：m，時間單位：s），求小球在t＝5時的瞬時速度

7、質點M按規律s＝2t²+3做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s），求質點M在t＝2時的瞬時速度．

【試題答案】

1、B

2、B

3、解：（1）時，k＝

∴點A處的切線的斜率為4.

（2）點A處的切線方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2

4、解：時，k＝

∴切線方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.

5、解：Δy＝2（3+Δx）²+4（3+Δx）－（2×3²+4×3）＝2（Δx）²+16Δx，＝2Δx+16

∴時，y′|_x＝3＝16

6、解：時，瞬時速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.

∴瞬時速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.

7、解：時，瞬時速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s