1. 常見的傅里葉變換對(duì)

1. 常見的傅里葉變換對(duì)

1.1. 矩形脈沖相關(guān)
1.2. 階躍信號(hào)相關(guān)
1.3. 沖激信號(hào)相關(guān)
1.4. 直流信號(hào)
1.5. 指數(shù)信號(hào)
1.6. 符號(hào)函數(shù)相關(guān)

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1.1. 矩形脈沖相關(guān)

矩形脈沖信號(hào)

[G_ au(t) leftrightarrow au mathrm{Sa} (frac{ au}{2} w)
]

采樣信號(hào)

[mathrm{Sa}(w_c t) leftrightarrow frac{pi}{w_c} G_{2w_c}(w)
]

三角脈沖信號(hào)

[land_{2 au}(t) leftrightarrow au Sa^2(frac{ au w}{2})
]

【注意】

(G_{ au}(t)) 和 (land_{2 au}(t)) 的下標(biāo)表示的非0區(qū)間的長(zhǎng)度；
三角脈沖信號(hào)與矩形脈沖信號(hào)的關(guān)系：(land_{2 au}(t) = frac{1}{ au} G_{ au}(t) * G_{ au}(t))
通過(guò)傅氏變換的 對(duì)稱性 和 時(shí)域卷積定理 可以證明以上式子。

1.2. 階躍信號(hào)相關(guān)

單位階躍信號(hào)

[u(t) leftrightarrow frac{1}{jw} + pi delta(w)
]

單位斜坡信號(hào)

[tu(t) leftrightarrow jfrac{mathrmozvdkddzhkzd}{mathrmozvdkddzhkzdw} left(frac{1}{jw} + pi delta(w)ight) = -frac{1}{w^2} + jpi delta'(w)
]

【注意】

階躍信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件，但是引入沖激函數(shù)后仍具有傅氏變換；
(u(t)) 是一個(gè)積分器，即 (int_{-infty}^{t} f( au) d au = f(t) * u(t))；

1.3. 沖激信號(hào)相關(guān)

單位沖激信號(hào)

[delta(t) leftrightarrow 1\
delta(t-t_0) leftrightarrow e^{-jwt_0}\
]

沖激信號(hào)的 (k) 階導(dǎo)數(shù)

[delta^{(k)}(n) leftrightarrow (jw)^k
]

當(dāng)某個(gè)信號(hào)的傅氏變換存在 常數(shù) 或者 正冪次項(xiàng) （可以帶個(gè)相位），則表示該信號(hào)包含沖激或沖激導(dǎo)數(shù)的形式。

1.4. 直流信號(hào)

[1 leftrightarrow 2pi delta(w)\
t^n leftrightarrow 2 pi j^n delta^{(n)}(w)
]

當(dāng)某個(gè)信號(hào)的傅氏變換包含 沖激 或其 沖激導(dǎo)數(shù)形式，表示給信號(hào)可能存在直流分量或者正冪次項(xiàng)。

1.5. 指數(shù)信號(hào)

（0 < a < 1）

單邊指數(shù)信號(hào)

因果型：(e^{-at} u(t) leftrightarrow frac{1}{a+jw})

非因果型：(e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{1}{a-jw})

雙邊指數(shù)信號(hào)

偶對(duì)稱型：

[egin{aligned}
e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\
&leftrightarrow frac{2a}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]

奇對(duì)稱型：

[egin{aligned}
e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) leftrightarrow frac{-2jw}{a^2 + w^2}
end{aligned}
]

指數(shù)調(diào)頻信號(hào)

[e^{-at}sin(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\
e^{-at}cos(w_0 t)u(t) leftrightarrow frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2}
]

頻域微分特性

[frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) leftrightarrow frac{1}{(a + jw)^n}
]

諧振信號(hào)

虛指數(shù)信號(hào)

[egin{aligned}
e^{jw_0t} &leftrightarrow 2pi delta(w - w_0)\
e^{-jw_0 t} &leftrightarrow 2pi delta(w + w_0)
end{aligned}
]

三角信號(hào)

[egin{aligned}
cos(w_0 t) &= frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\
&leftrightarrow pi [delta(w - w_0) + delta(w + w_0)]\
sin(w_0 t) &= frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\
&leftrightarrow frac{pi}{j}[delta(jw - jw_0) - delta(jw + jw_0)]
end{aligned}
]

調(diào)頻信號(hào)

[egin{aligned}
f(t)cos(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\
f(t)sin(w_0 t) &leftrightarrow frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)]
end{aligned}
]

1.6. 符號(hào)函數(shù)相關(guān)

[sgn(t) leftrightarrow frac{2}{jw}
]

對(duì)稱性

[frac{1}{t} leftrightarrow jpi sgn(w)
]

時(shí)域微分特性

[frac{1}{t^2} leftrightarrow pi w sgn(w) = pi |w|
]

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的常见的傅里叶变换对的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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