[OpenGL ES 03]3D变换：模型，视图，投影与Viewport
[OpenGL ES 03]3D變換：模型，視圖，投影與Viewport
羅朝輝 (http://blog.csdn.net/kesalin)
本文遵循“署名-非商業(yè)用途-保持一致”創(chuàng)作公用協(xié)議
系列文章： [OpenGL ES 01]OpenGL ES之初體驗[OpenGL ES 02]OpenGL ES渲染管線與著色器
前言
本來打算直接寫教程 04 的，但是想到3D 變換涉及的數(shù)學(xué)知識較多，往往是很多初學(xué)者的攔路虎（比如我自己）。再加上OpenGL ES 2.0 不再提供OpenGL ES 1.0中 3D 變換相關(guān)的一些重量級函數(shù)，如 glMatrixMode(GL_PROJECTION); glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadMatrixf; glMultMatrix 等，這些函數(shù)在 OpenGL ES 2.0 中均需要我們自己去實現(xiàn)。 如果不對線性代數(shù)與幾何知識作一些簡單介紹，恐怕不少人難以理解文中的一些步驟為什么要那么做。因此今天這一篇文章將放棄原定計劃，先來介紹一些 3D 數(shù)學(xué)以及 3D 變換相關(guān)的知識。BTW，原定計劃的代碼示例已經(jīng)寫好了，有興趣的同學(xué)可以先行瀏覽，代碼放在這里，運行效果如下：
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一，3D數(shù)學(xué)歷史
我們都學(xué)過幾何學(xué)，應(yīng)該都知道歐幾里得（公元前3世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家）這位幾何學(xué)鼻祖，正是這位大牛創(chuàng)建了歐幾里得幾何學(xué)，他提出了基于 X，Y，Z 三軸的三維空間概念。到了17世紀(jì)，又出了位大牛笛卡爾，我們通常所說的笛卡爾坐標(biāo)就是他的創(chuàng)造，笛卡爾坐標(biāo)非常完美地將歐幾里得幾何學(xué)理論與代數(shù)學(xué)聯(lián)系到一塊。正是因為有了笛卡爾坐標(biāo)，我們才能夠用簡單的矩陣（Matrix）來表示三維變換。但用矩陣來表示三維變換操作有一個無法解決的問題-萬向節(jié)鎖?。什么是萬向節(jié)鎖呢？簡單地說就是兩個軸旋轉(zhuǎn)到同一個方向上去了，這兩個軸平行了，因此就比原來少了一維（詳情可參考這里）。過了一百多年，漢密爾頓（Sir William Rowan Hamilton）創(chuàng)建了四元數(shù)（quaternion）解決了因為旋轉(zhuǎn)而導(dǎo)致萬向節(jié)鎖的問題，四元數(shù)還有其他用處，但在3D數(shù)學(xué)里主要是用來處理旋轉(zhuǎn)問題。
好吧，或許你看得一頭霧水，不要緊，你只要知道：用矩陣來表示3D變換，但矩陣在表示旋轉(zhuǎn)時可能會導(dǎo)致萬向節(jié)鎖的問題，而使用四元數(shù)可以避免萬向節(jié)鎖就可以了。
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二，矩陣變換
在前面提到可使用 Matrix 來表示三維變換操作，那么變換又是如何通過 Matrix 實現(xiàn)的呢？下面就來講這個。在這里我推薦一本3D數(shù)學(xué)入門書籍：《3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：圖形與游戲開發(fā)》
通常我們使用 4 維向量 (x, y, z, w) 表示在3D空間中的一個點，最后一維 w 表示齊次坐標(biāo)。齊次坐標(biāo)的含義是兩條平行線在投影平面的無窮遠(yuǎn)處相交于一點，但在 Matrix 中沒有表示無窮大，所以增加了齊次坐標(biāo)這一維。你可以想象下，火車軌道的兩條邊在無限遠(yuǎn)處看起來就相交于一點，齊次坐標(biāo)詳細(xì)的介紹可以參考這篇文章。
矩陣運算規(guī)則：
1) 若矩陣 A 和 B 不是互逆矩陣，則不滿足乘法交換律，即 A × B 不等于 B × A；?
2) M × N 階的矩陣只能和 N × O 階的矩陣相乘，即 N 的階數(shù)相等，結(jié)果為 M × O 階的矩陣；?
3) 矩陣 A × B 的運算過程是 A 的每一行依次乘以 B 的每一列作為結(jié)果矩陣中的一行；?
4) 矩陣 A 的逆矩陣?B 滿足 A × B = B × A = 單位矩陣。??
5) 單位矩陣是對角線上的值為1，其余均為 0 的矩陣。單位矩陣不影響坐標(biāo)變換（你可以將下面的3D變換矩陣換成單位矩陣來思考下）。
3D空間的物體投影到2D平面上時，就需要使用到齊次坐標(biāo)，因此我們需要使用 4 × 4 的 Matrix 來表示變換。在編程語言中，這樣的 Matrix 可用大小為 16 的一維數(shù)組或4?× 4 的二維數(shù)組來表示。由于矩陣乘法不滿足乘法交換律，用數(shù)組表示 Matrix 又分為兩種形式：行主序和列主序，它們在本質(zhì)上是等價的，只不過是一個是右乘（行主序，矩陣放右邊）和一個是左乘（列主序，矩陣放左邊）。OpenGL 使用列主序矩陣，即列矩陣，因此我們總是倒過來算的（左乘矩陣，變換效果是按從右向左的順序進(jìn)行）： 投影矩陣 × 視圖矩陣 × 模型矩陣 × 3D位置。
4× 4列矩陣的數(shù)組表示：數(shù)字表示數(shù)組下標(biāo)對應(yīng)的行列位置：
那么
平移矩陣可表示為：
平移矩陣 × 列矩陣(a, b, c, 1) = 列矩陣(a + x, b + y, c + z, 1)。
縮放矩陣可表示為：
縮放矩陣 × 列矩陣(a, b, c, 1) = 列矩陣(a × sx, b × sy, c × sz, 1)。
繞 X 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：
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繞 X 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 × 列矩陣(a, b, c, 1) = 列矩陣(a, b × cos(θ) - c × sin(θ), b × -sin(θ) + c × cos(θ), 1)。
繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：
繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 × 列矩陣(a, b, c, 1) = 列矩陣(a × cos(θ) - c × sin(θ), b , a × -sin(θ) + c × cos(θ), 1)。
繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：
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繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 × 列矩陣(a, b, c, 1) = 列矩陣(a × cos(θ) - b × sin(θ),? a × -sin(θ) + b × cos(θ), c, 1)。
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三，OpenGL 中的實現(xiàn)
OpenGL 使用右手規(guī)則進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，因此逆時針方向的選擇是正角度的，而順時針方向的旋轉(zhuǎn)是負(fù)角度的。還記得中學(xué)學(xué)物理時候的右手規(guī)則么？忘記了的話，看下圖：
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注意：
前面說到矩陣乘法不滿足乘法交換律，因此你對一個3D坐標(biāo)先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行平移（平移矩陣 × 旋轉(zhuǎn)矩陣 × 3D坐標(biāo)）；與先進(jìn)行平移，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)矩陣 × 平移矩陣 × 3D坐標(biāo)）得到的效果是大為迥異的。如下圖所示：
在第一種情況下，我們通常稱旋轉(zhuǎn)是在 local space 中進(jìn)行，因為它是繞著物體自己的中心點進(jìn)行的，而在后一種情況下的旋轉(zhuǎn)通常稱為是在 world space 中進(jìn)行的。我們知道點是可以在坐標(biāo)空間之間相互轉(zhuǎn)換的，這是一個很重要的概念。OpenGL 中物體最初是在本地坐標(biāo)空間中，然后轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)空間，再到 camera 視圖空間，再到投影空間，這一系列轉(zhuǎn)換都是靠 matrix 計算來實現(xiàn)。
上面的這個過程在 OpenGL 及 OpenGL ES 1.0 中，對應(yīng)的代碼類似于：
glViewport (0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h); a)glMatrixMode (GL_PROJECTION); b)glLoadIdentity ();glFrustum (-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.5, 20.0); c)glMatrixMode (GL_MODELVIEW); d)glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glLoadIdentity (); /* clear the matrix *//* viewing transformation */gluLookAt (0.0, 0.0, 5.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); e)glScalef (1.0, 2.0, 1.0); /* modeling transformation */ f)glutWireCube (1.0); g)glFlush ();說明：
a) 是用于viewport（視口）變換，viewport 變換發(fā)生在投影到2D 投影平面之后，該變換是將投影之后歸一化的點映射到屏幕上一塊區(qū)域內(nèi)的坐標(biāo)。視口變換的目的是指定投影之后圖像在屏幕上顯示的區(qū)域。如下示意圖所示：
視口變換 glViewport(x, y, width, height); x,y 是投影平面描繪在屏幕或窗口上的起始位置（注意屏幕坐標(biāo)以左上方為原點），width和height是以像素為單位，指投影平面在屏幕上描繪的區(qū)域大小。如果投影平面的寬高比，與width/height比不相同（如上面的右圖），那么描繪的場景就會扭曲。
從裁剪到屏幕的整個過程如下圖所示，w 就是前面提到的齊次坐標(biāo)那一維，從 Clip Space 到 Normalized Device Space 就是投影規(guī)范化的過程，從 Normalized Device Space 到 Window Space 就是 viewport 變換過程。
該轉(zhuǎn)換內(nèi)部計算公式為：
?(xw, yw)是屏幕坐標(biāo)，(x, y, width, height)是傳入的參數(shù)，(xnd, ynd)是投影之后經(jīng)歸一化之后的點（上圖中 Normalized Device Space 空間的點）。因此 viewport 變換就是將投影之后歸一化的點轉(zhuǎn)換為真正可用于在屏幕上進(jìn)行渲染的屏幕坐標(biāo)；
b) 是說明下面的 matrix 是用于投影變換的，在本例中，是通過語句 c)?glFrustum?來設(shè)置透視投影變換的。投影變換有兩種：正交投影和透視投影，后面會有詳細(xì)介紹；
d) 是說明下面的 matrix 是用于模型視圖變換，注意，OpenGL 和 OpenGL ES 都將模型變換與視圖變換結(jié)合在一起，而不是分開為兩個，這是因為模型變換等價于視圖變換的逆變換。視圖變換是將物體轉(zhuǎn)換到觀察者（一般稱之為 camera）的視線空間中。你可以想象一下，照相時，你可以：A）照相機(jī)不懂，旋轉(zhuǎn)自己的頭找個側(cè)面像，也可以B）自己不動，照相機(jī)旋轉(zhuǎn)一定的角度來達(dá)到同樣的效果。下面的兩幅圖分別描述了情形A）和情形B）：
情形A）：旋轉(zhuǎn)物體，相機(jī)不動
情形B）：旋轉(zhuǎn)相機(jī)，物體不動
在 OpenGL 中，我們在設(shè)置場景（scene）的時候通常是采取情形B）的做法，因此在語句 e) 處，我們設(shè)置相機(jī)的位置和朝向，來設(shè)定視圖變換，之后的語句 f) glScale 是設(shè)定在模型變換的，最后語句 g) 在本地空間描繪物體。
注意
寫 OpenGL 代碼時從前到后的順序依次是：設(shè)定 viewport（視口變換），設(shè)定投影變換，設(shè)定視圖變換，設(shè)定模型變換，在本地坐標(biāo)空間描繪物體。而在前面為了便于理解做介紹時，說的順序是OpenGL 中物體最初是在本地坐標(biāo)空間中，然后轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)空間，再到 camera 視圖空間，再到投影空間。由于模型變換包括了本地空間變換到世界坐標(biāo)空間，所以我們理解3D 變換是一個順序，而真正寫代碼時則是以相反的順序進(jìn)行的，如果從左乘矩陣這點上去理解就很容易明白為什么會是反序的。
有了上面 3D 變換的整體概念，下面來詳細(xì)說說投影變換與視圖變換。
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四，投影變換
投影變換的目的是確定 3D 空間的物體如何投影到 2D 平面上，從而形成2D圖像，這些 2D 圖像再經(jīng)視口變換就被渲染到屏幕上。前面提到投影變換有兩種：正交投影和透視投影。透視投影用的比較廣泛，它與真實世界更相近：近處的物體看起來要比遠(yuǎn)處的物體大；而正交投影沒有這個效果，正交投影通常用于CAD或建筑設(shè)計。下面是正交投影與透視投影效果示意圖：
| 正交投影 | 透視投影 |
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透視投影可以通過兩種方式來表述，OpenGL 及 OpenGL ES 1.0 提供其中一種：?glFrustum，而 glut 輔助庫提供了另外一種：gluPerspective。它們本質(zhì)上是相同的，只不過是不同的表述而已：
視錐體/視景體：
glFrustum(left, right, bottom, top, zNear, zFar);
left，right， bootom，top 定義了 near 裁剪面大小，而 zNear 和 zFar 定義了從 Camera/Viewer 到遠(yuǎn)近兩個裁剪面的距離（注意這兩個距離都是正值）。由這六個參數(shù)可以定義出六個裁剪面構(gòu)成的錐體，這個錐體通常被稱之為視錐體或視景體。只有在這個錐體內(nèi)的物體才是可以見的，不在這個錐體內(nèi)的物體就相當(dāng)于不再視線范圍內(nèi)，因而會被裁減掉，OpenGL 不會這些物體進(jìn)行渲染。
由于 OpenGL ES 2.0 不提供此函數(shù)，因此我們需要自己實現(xiàn)該函數(shù)。其計算公式如下：
假設(shè)：l = left, r = right, b = bottom, t = top, n = zNear, f = zFar，有
透視圖：
gluPerspective(fovy, aspect, zNear, zFar);
fovy 定義了 camera 在 y 方向上的視線角度（介于 0 ~ 180 之間），aspect 定義了近裁剪面的寬高比 aspect = w/h，而 zNear 和 zFar 定義了從 Camera/Viewer 到遠(yuǎn)近兩個裁剪面的距離（注意這兩個距離都是正值）。這四個參數(shù)同樣也定義了一個視錐體。
在 OpenGL ES 2.0 中，我們也需要自己實現(xiàn)該函數(shù)。我們可以通過三角公式 tan(fovy/2) ?= (h / 2)/zNear 計算出 h ，然后再根據(jù) w = ?h * aspect 計算出 w，這樣就可以得到 left, right, top, bottom, zNear, zFar 六個參數(shù)，代入在介紹視錐體時提到的公式即可。?
正交投影在 OpenGL 及 OpenGL ES 1.0 中是由?glOrtho 來提供的，我們可以把正交投影看成是透視投影的特殊形式：即近裁剪面與遠(yuǎn)裁剪面除了Z 位置外完全相同，因此物體始終保持一致的大小，即便是在遠(yuǎn)處看上去也不會變小。
glOrtho(left,?right,?bottom,?top,?zNear,?zFar);
left，right， bootom，top 定義了 near 裁剪面大小，而 zNear 和 zFar 定義了從 Camera/Viewer 到遠(yuǎn)近兩個裁剪面的距離（注意這兩個距離都是正值）。
假設(shè)：xmax = right, xmin = left, ymax = top, ymin = bottom, zmax = far, zmin = near，正交投影的計算可分為兩步：首先平移到視錐體的中心，然后縮放。
平移矩陣：（圖中的2min 應(yīng)為 zmin）
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縮放矩陣：
正交投影矩陣 R = S ×?T：
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五，視圖變換
視圖變換的目的是為了讓我們能觀察到某個角度的場景（從觀察者的角度來說）或者說是為了將物體從世界坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到相機(jī)視線所在視圖空間中來（從3D物體角度來說）。這可以通過設(shè)定觀察者的位置和朝向來實現(xiàn)的或?qū)ξ矬w進(jìn)行3D變換來實現(xiàn)，通常前面一種方式來實現(xiàn)（即設(shè)定觀察者的位置與朝向）。如下圖所示，xyz坐標(biāo)軸表示的是世界坐標(biāo)，藍(lán)白色區(qū)域為視圖空間，視圖變換就是要將長方體從世界空間中轉(zhuǎn)換到視圖空間的坐標(biāo)體系中去，然后再投影規(guī)范化，然后再經(jīng) viewport 轉(zhuǎn)換映射到屏幕上渲染出來。
在 OpenGL 中，我們可以通過工具庫提供的 gluLookAt 這個函數(shù)來實現(xiàn)此功能。該函數(shù)的原型為：
gluLookAt(eyex, eyey, eyez, centerx, centery, centerz, upx, upy, upz);
eye 表示 camera/viewer 的位置， center 表示相機(jī)或眼睛的焦點（它與 eye 共同來決定 eye 的朝向），而 up 表示 eye 的正上方向，注意 up 只表示方向，與大小無關(guān)。通過調(diào)用此函數(shù)，就能夠設(shè)定觀察的場景，在這個場景中的物體就會被 OpenGL 處理。在 OpenGL 中，eye 的默認(rèn)位置是在原點，指向 Z 軸的負(fù)方向（屏幕往里），up 方向為 Y 軸的正方向。在接下來的教程 04 中，使用的就是這個默認(rèn)設(shè)置。
OpenGL ES 2.0 也沒有提供該函數(shù)，glulookat 的內(nèi)部實現(xiàn)其實就是先旋轉(zhuǎn)到與觀察者視線相同的方向，然后再平移到觀察者所在的位置。其實現(xiàn)偽碼如下：
[csharp] view plaincopy print?上面代碼中的 cross 是叉積，normalize 是規(guī)范化，Matrix4 是列主序，translate 是平移。
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六，后記
3D 變換是對初學(xué)者來說是比較困難的，我盡量寫得明白點，但效果如何就不得而知了。寫這一篇花了我不少時間，但對四元數(shù)和萬向節(jié)鎖也只是提及而已，未詳細(xì)介紹，以后再單獨介紹吧。Nate Robin 寫了一個3D 變換的可視化教程工具，對于理解投影，視圖，模型變換非常有幫助，強(qiáng)烈建議下載運行該程序，并調(diào)整相關(guān)參數(shù)看看效果。下面?zhèn)鲝埥貓D以誘惑你去下載：點此進(jìn)入下載頁面（Windows 和 Mac 版本都有）
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/6084717.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的[OpenGL ES 03]3D变换：模型，视图，投影与Viewport的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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