矩陣乘法

　　矩陣加法很簡單，結果矩陣的某一位置上的數就是加數矩陣對應位置上的數之和。如下圖：

　　那矩陣乘一個數呢？把矩陣每一個位置上的數都乘上那個數就得到了結果矩陣。如下圖：

　　可以發現矩陣乘一個數可以當成乘法分配律來理解。

　　那矩陣乘矩陣呢？還按對應位置相乘嗎？

　　起初，矩陣的作用是表示線性代數方程組，如下圖：

　　從圖中可以看出，左矩陣每一行第N列位置上的數乘上右矩陣第N行位置上的變量就等于結果矩陣中第N行的數。這樣左矩陣每一行都構成一個方程，最終組成一個方程組。

　　現在我們可以開始推導矩陣乘法的公式了。

　　首先我們可以定義一個用矩陣A表達的線性方程組。如下圖：

　　再定義一個矩陣B表達 x 與 t 的關系。如下圖：

　　很顯然，我們可以把B矩陣帶入到A矩陣，以及把B表達的方程組帶入到A表達的方程組。如下圖：

　　代入得到的方程組括號拆開后提出來t1和t2，可以化簡得到一個新方程組。如下圖：

　　由矩陣和線性代數方程組的關系得出：

　　

　　將上圖中的式子與之前推導出的式子（下圖）相比較：

　　可以得出：

　　

　　這也就是矩陣乘法的行列規律，即結果矩陣M行N列位置的數為左矩陣M行的數按次序對應乘上右矩陣N列相應次序的數，得到的所有積的總和。從這也可以看出相乘的兩個矩陣必須滿足一個矩陣的行數等于另一個矩陣的列數。

總結

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