1. 陪集

　　現(xiàn)在繼續(xù)研究群的分解，先來討論一般子群之間、以及子群和父群的關(guān)系。首先根據(jù)子群的判定條件，如果(H,Kleqslant G)，則很容易有(Hcap Kleqslant G)。那么(Hcup K)呢?當(dāng)然這里(H,K)都是真子群，并且不互相包含。從(H)中取元素(h
otin K)，從(K)中取元素(k
otin H)，則容易證明(hk
otin Hcup G)，從而(H,K)一定不是(G)的子集。

　　如果再把(hk)都包含進(jìn)來呢，即(HK)是不是(G)的子集？對(h_1k_1,h_2k_2in HK)，如果總有有((h_1k_1)(h_2k_2)=hk)，容易證明該條件和(HK=KH)等價。所以就有下式結(jié)論，但要注意(HK=HK)并不表示(hk=kh)。這樣的分割需要子集滿足一定條件，不符合我們現(xiàn)在的需求，需要另找方法。

[HKleqslant GquadLeftrightarrowquad HK=KH ag{1}]

　　現(xiàn)在看來，我們必須放棄將父群分解為若干個子群的想法，而只能以某個子群(H)為參考或劃分單位。我們還希望分成的每一塊和子群一樣大，最好元素與(H)也有一一對應(yīng)的關(guān)系。由此我們想到了考察集合(aH)，它表示(a)和(H)每個元素的乘積組成的集合，被稱為(H)的左陪集（left coset），(a)是左陪集的代表元。如果(ain H)，顯然(aH=H)，現(xiàn)在來研究(a
otin H)時，(aH)之間的關(guān)系。

　　對任意(bin aH)，存在(b=ah,(hin H))，則(bH=ahH=aH)，也就是說以(aH)的中任何元素為代表元的左陪集都與(aH)完全重合。換句話說，所有左陪集要么完全相等，要么沒有交集，每個元素都被劃分到了一個左陪集中，且都能作為該左陪集的代表元。另一方面，對(bin aH)，有(a^{-1}b=hin H)，容易證明(a^{-1}bin H)就是(a,b)同屬于一個左陪集的充要條件，它是群元素之間的一個等價關(guān)系。

　　同樣可以定義右陪集(Ha)的概念，并有著和左陪集一樣的結(jié)論，只不過同屬于一個右陪集的條件要改成(ab^{-1})。對于非交換群，(aH)與(Ha)一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（(H)本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也許并不甘心，它們之間一定有別的方法能聯(lián)系起來。考慮到左右陪集只是左右顛倒的，你很自然就可以想到逆運(yùn)算，對任何(ahin aH)，都有((ah)^{-1}=h^{-1}a^{-1}in Ha^{-1})。即(aH)和(Ha^{-1})的元素是完全互逆的關(guān)系，這樣左右陪集就找到了一一對應(yīng)的關(guān)系。現(xiàn)在想來，左陪集(aH)中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但卻神奇地集中到了右陪集(Ha^{-1})里。

　　考慮所有左陪集(aH)組成的集合，它的階被稱為子集(H)的指數(shù)（index），記為([G:H])，那么顯然有式（2）的拉格朗日定理成立。進(jìn)一步地，如果(Kleqslant Hleqslant G)，還容易有式（3）成立（注意對無窮的討論）。并且可以直觀地看出，(K)的陪集其實就是在(H)陪集的基礎(chǔ)上再以(K)為單位進(jìn)行的劃分。

[|G|=|H|[G:H] ag{2}]

[[G:K]=[G:H][H:K] ag{3}]

　　現(xiàn)在再來看(Hcap K)的陪集與(H,K)陪集的關(guān)系，首先由剛才的結(jié)論知，(Hcap K)的陪集正好是(H,K)陪集的一個再次分割。從而(aHcap bK)要么是空集，要么正好是某些(Hcap K)的陪集。進(jìn)一步地，如果(c=aHcap bK)，則(aHcap bK=cHcap cK=c(Hcap K))，即(aHcap bK)最多只包含一個(Hcap K)的陪集。這樣的話就容易有以下不等式。

[[G:Hcap K]leqslant [G:H][G:K] ag{4}]

　　最后來看子集(HK)，它顯然由一些(K)的左陪集組成。另外考慮(H)中(Hcap K)的(m=dfrac{|H|}{|Hcap K|})個左陪集，考慮(h_1,h_2in H)，它們屬于同一(Hcap K)左陪集的充要條件是(h_1^{-1}h_2in Hcap K)。而該條件顯然等價于(h_1^{-1}h_2in K)，它又是(h_1,h_2)屬于同一(K)的左陪集沖要條件，故(HK)中(K)的左陪集的個數(shù)就是(m)。以上結(jié)論可以總結(jié)為式（5），顯然只有當(dāng)(Hcap K={e})時，才有(|HK|=|H||K|)。

[|HK|=dfrac{|H||K|}{|Hcap K|} ag{5}]

2. 同態(tài)與商群

2.1 同態(tài)定理

　　現(xiàn)在群(G)被分成了(H)的陪集，(H)當(dāng)然有更細(xì)的劃分方法，現(xiàn)在需要來研究它的陪集組成的集合。我們先不直接研究陪集，而是采用更一般性的方法。回顧陪集的定義，其實就是一個從群元素到陪集的映射，我們希望研究一般的代數(shù)系統(tǒng)之間的映射。考慮兩個系統(tǒng)(langle S,circangle,langlear{S},starangle)之間的映射(f)，我們當(dāng)然希望運(yùn)算律是保持的，滿足以下條件的映射被稱為同態(tài)映射（homomorphism）。如果映射是滿的，則稱(S,ar{S})同態(tài)，記作(Ssimar{S})。

[f(acirc b)=f(a)star f(b) ag{6}]

　　我們重點要關(guān)注的當(dāng)然是同態(tài)映射像和原像的關(guān)系，即同態(tài)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如果(Gsimar{G})，其中(G)為一個群，容易證明(ar{G})滿足群的所有條件（作為練習(xí)），故(ar{G})也是群。當(dāng)然還可以得到更多結(jié)論，比如單位元映射到單位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，這里就不贅述了。反過來思考同態(tài)映射，它的每個像都有可能不止一個原像，(G)按照像的不同被劃分成了不同的等價類，這些等價類有什么性質(zhì)？它和(ar{G})又有什么關(guān)系？

　　顯然那些等價類與同態(tài)像是一一對應(yīng)的，如果能定義好運(yùn)算，它們自然就是同構(gòu)的，現(xiàn)在的任務(wù)就是尋找這些等價類有意義的運(yùn)算。先定義(ar{e})的原像(f^{-1}(ar{e}))為核（kernel），記作( ext{Ker}:f)。下面來看那些等價類是什么，對于(ar{x}inar{G})，考察(X=f^{-1}(ar{x}))。對任何(a,bin X)，(f(a^{-1}b)=(f(a))^{-1}f(b)=ar{e})，故(a^{-1}bin ext{Ker}:f)，從而(K= ext{Ker}:f)是一個子群，且每個等價類是都是它的左陪集。你還可以發(fā)現(xiàn)，剛才的證明對右陪集同樣成立，也就是說( ext{Ker}:f)的左右陪集是一樣的！

　　既然陪集不分左右了，就可以為其定義(aKcdot bK=(ab)K)，容易證明在該運(yùn)算下，(K)的陪集與(ar{G})是同構(gòu)的。我們需要專門研究像核這樣的子群，即對子群(N)，要求(aN=Na)恒成立。為此定義滿足下式的子群為正規(guī)子群（normal subset），記作(N rianglelefteq G)，如果(N
eq G)，也記作(N riangleleft G)。剛才的結(jié)論可以說成，同態(tài)映射的核是正規(guī)子群，那么反過來呢？其實容易證明，對任意正規(guī)子群(N)，映射(f(a)=aN)就是同態(tài)的。故我們可以下結(jié)論：任何正規(guī)子群都與一個同態(tài)映射等價。

[forall ain G(aNa^{-1})quadRightarrowquad N rianglelefteq G ag{7}]

　　因為正規(guī)子群(N)的陪集與同態(tài)像一一對應(yīng)，它們必然組成群，定義它為商群（quotient group），記作(G/N)，從而有(|G/N|=[G:N])。剛才的結(jié)論用符號表示就是下式，它被稱為同態(tài)基本定理。

[Gsim G/Ncong ar{G} ag{8}]

　　現(xiàn)在繼續(xù)對正規(guī)子群作一些常規(guī)討論。正規(guī)子群是(N)與(G)的關(guān)系，所以對任意(Nleqslant Hleqslant G,N rianglelefteq G)，總有(N rianglelefteq H)，但對(H rianglelefteqN rianglelefteqG)，卻不一定有(H rianglelefteq G)。交換群的子群顯然都是正規(guī)子群。對非交換群(G)，({e})和(G)顯然都的正規(guī)子群，但如果除了這兩個平凡正規(guī)子群外沒有其它正規(guī)子群，那么(G)叫單群（single group）。反之如果其所有子群都是正規(guī)子群，它也叫哈密頓群。比較容易證明，兩個正規(guī)子群的交和積也必然是正規(guī)子群（公式（8）），但正規(guī)子群與子群的交和積卻只能是普通的子群。

[N,K rianglelefteq GquadRightarrowquad Ncap K rianglelefteq G,quad NK rianglelefteq G ag{8}]

　　思考幾個關(guān)于正規(guī)子群的問題：

　　•(A_n)是(S_n)的正規(guī)子群，(K_4)是(S_4)的正規(guī)子群。如果已知(n
eq 4)時，(A_n)都是單群，則(S_n)的非平凡正規(guī)子群只有(A_n)；

　　•(N,K rianglelefteq G)且((|N|,|K|)=1)，若(G/N,G/K)都是交換群，求證(G)也是交換群；

　　•(N=langle aangle)是正規(guī)子群，則任何(Hleqslant N)也是正規(guī)子群；

　　同態(tài)基本定理給出了一種分析群的結(jié)構(gòu)的方法，將群拆分為正規(guī)子群和商群，這里介紹著名的群的同構(gòu)定理。第一同構(gòu)定理其實就是同態(tài)基本定理，第三同構(gòu)定理以正規(guī)子群(N)為單位元，得到更大正規(guī)子群的結(jié)構(gòu)。將(G)換成(HN)就得到第二同構(gòu)定理。

　　（1）第一同構(gòu)定理：(G/ ext{Ker}:fcong f(G))；

　　（2）第二同構(gòu)定理：(N rianglelefteq G,:Hleqslant GquadRightarrowquad HN/Ncong H/(Hcap N))；

　　（3）第三同構(gòu)定理：(H,N rianglelefteq G,:Nsubseteq HquadRightarrowquad G/Hcong (G/N)/(H/N))。

2.2 自同構(gòu)群

　　上篇中講到了對稱群，它的組成元素是集合的一一映射，現(xiàn)在來看它在群上的一個特殊子群。我們考慮群的所有自同構(gòu)變換組成的集合，很容易證明它們組成群，稱為自同構(gòu)群（automorphism），并記作為( ext{Aut}:G)。容易證明無限循環(huán)群的自同構(gòu)群是(2)階循環(huán)群，而(n)階循環(huán)群的自同構(gòu)群是(varphi(n))階群。如果你覺得自同構(gòu)群不好構(gòu)造，那你可以試試同構(gòu)映射(sigma_a(x) o axa^{-1})，所有這樣的映射構(gòu)成內(nèi)自同構(gòu)群，記作( ext{Inn}:G)。顯然正規(guī)子群在內(nèi)自同構(gòu)下保持不變，因此它也叫不變子群。另外容易證明，內(nèi)自同構(gòu)群是自同構(gòu)群的正規(guī)子群（公式（9））。

[ ext{Inn}:G rianglelefteq ext{Aut}:G ag{9}]

　　現(xiàn)在考慮從(G)到( ext{Inn}:G)映射，它顯然是同態(tài)映射，映射的核是所有使(axa^{-1}=x)恒成立的(a)（內(nèi)自同構(gòu)的單位元是恒等變換）。為此我們定義與所有元素可交換的元素為中心元素，它們組成的子群叫中心（center），記作(C(G))或(C)，中心僅有({e})的群叫無中心群。這樣一來，使用同構(gòu)定理就有下式成立。

[ ext{Inn}:Gcong G/C ag{10}]

　　而對于一般自同構(gòu)群的研究則沒有什么顯著成果，它和原群之間并無特別的關(guān)系，這里只作簡單討論。若自同構(gòu)群( ext{Aut}:G)有中心，取一個非恒等自同構(gòu)變換( au(a)=b
eq a)和內(nèi)自同構(gòu)(sigma_a)，從而有( ausigma_a=sigma_a au)，進(jìn)而你可以證明(a^{-1}b)是(G)的中心。從而如果( ext{Aut}:G)有中心，則(G)也有中心。反之如果(G)沒有中心，則( ext{Aut}:G)也沒有中心。考慮以下問題：

　　•證明(S_n)和( ext{Aut}:S_n)都是無中心群；

　　•證明(n)階循環(huán)群的自同構(gòu)群是循環(huán)群的充要條件是(n=2,4,p^e,2p^e)，其中(p)為奇素數(shù)。

2.3 可解群

　　商群可以將群分為兩個層次的“子群”，這樣的分割可以一直繼續(xù)下去，如果有限步后子群為(1={e})（公式（11）），這樣的序列被稱為正規(guī)群列，其中的商群稱為因子群。正規(guī)群列本質(zhì)上是講群分成了若干個因子群，如果不做其它要求，這個群列一定是存在的。但有時希望因子群有更好的性質(zhì)，以便研究群的結(jié)構(gòu)，為此若群(G)某個正規(guī)群列的因子群可交換，我們稱(G)為可解群。所有交換群顯然是可解群，而對非交換群，我們需要研究其可解的條件。

[G=G_0 rianglerightG_1 rianglerightcdots rianglerightG_n=1 ag{11}]

　　現(xiàn)在來看看(G)的因子群(G/N)可交換時，正規(guī)子群(N)應(yīng)該滿足什么條件。(G/N)可交換就是說，對任何(a,bin G)有(aNcirc bN=bNcirc aN)，由(N)正規(guī)容易有(a^{-1}b^{-1}abN=N)，從而(a^{-1}b^{-1}abin N)。記([a,b]=a^{-1}b^{-1}ab)，它被稱為(a,b)的換位子。以上結(jié)論說明(G/N)可交換的充要條件是，(N)包含了所有的換位子。反過來，考察所有換位子的生成子群(D(G))，容易驗證它的每個元素其實是有限個換位子之積，并且它還是正規(guī)子群，這個群被稱為換位子群。這樣(G/N)可交換的充要條件便是(D(G)subseteq N)，而(D(G))則是滿足條件的最小正規(guī)子群。

　　換位子群可以繼續(xù)生成它的換位子群(D^2(G))，如果這樣的序列有限，它被稱為換位群列。存在換位群列的群顯然是可解群，反之可解群的任意正規(guī)群列必然滿足(D^k(G)subseteq G_k)，故換位群列存在，這就是說群可解與它存在換位群列是等價的。根據(jù)這個結(jié)論，分別考察(G)子群的換位子群，以及(D(G))在(G/N)上的同態(tài)像，容易證明可解群的所有子群和商群也是可解群。

　　有限群上有時更關(guān)注另一種正規(guī)群列，它的每個因子群都是最基礎(chǔ)的單群，這樣的群列叫合成群列，顯然有限群總存在合成群列。根據(jù)單群的特點容易知道，有限單群要么是素數(shù)階循環(huán)群（交換），要么是不可解群（非交換）。這樣的話可解的單群就只能是素數(shù)階循環(huán)群，又因為可解群的商群和子群也是可解群，所以可解群的合成群列的因子群都是素數(shù)階循環(huán)群。該命題的逆命題顯然也成立，故對于有限群而言，它是可解群的充要條件是：合成群列的因子群為素數(shù)階循環(huán)群。

　　可解群是伽羅瓦分析多項式求根時提出的，它對于解析有限群的結(jié)構(gòu)也非常重要，后面我們會看到它的具體應(yīng)用。多項式求根中需要討論(S_n,A_n)的可解性，當(dāng)(n<5)時有正規(guī)群列（12），故(S_n,A_n,(n<5))時都是可解群。當(dāng)(ngeqslant 5)時，首先(S_n)中顯然包含所有(3)-循環(huán)，取(a=(i,l,j),b=(j,k,m))，容易驗證([a,b]=(i,j,k))。這就是說任何(3)-循環(huán)都還在換位子群中，不存在(D^k(S_n)=1)，所以(S_n)不是可解群，從而(A_n)也不是可解群。

[S_2 riangleright 1,quadS_3 riangleright A_3 riangleright 1,quadS_4 riangleright A_4 riangleright K_4 riangleright 1 ag{12}]

3. 直積

　　正規(guī)子群可以將群分解成兩個群，但這兩個群不在同一個層次，似乎也不是真正意義上的“分解”。我們理想的分解應(yīng)當(dāng)是：各部分互相獨(dú)立且順序無關(guān)的，就好比被劃分到了不同的維度。為此我們先來構(gòu)造一類滿足條件的群，對群(A_1,A_2,cdots,A_n)，考察如下集合(G)。在(G)上定義乘法((a_1,cdots,a_n)(b_1,cdots,b_n)=(a_1b_1,cdots,a_nb_n))，容易證明在這個乘法下，(G)是一個群。如果把子集({(e_1,cdots,x_k,cdots,e_n)})記做(G_k)，顯然(G_k)是與(A_k)同構(gòu)的群。

[G=A_1 imes A_2 imescdots imes A_n={(x_1,x_2,cdots,x_n)} ag{13}]

　　對于以上(G)的分解(G_k)顯然滿足我們的需求：（1）(G_k)都是正規(guī)子群；（2）(G=G_1G_2cdots G_n)；（3）(G_1cdots G_{k-1}cap G_k={e})。更本質(zhì)的它滿足我們對獨(dú)立分解的要求：各部分獨(dú)立且順序無關(guān)，用數(shù)學(xué)語言描述就是以下等價條件（證明作為習(xí)題）。滿足以上定義或以下等價條件的分解被稱為(G)的直積（direct product），不混淆的情況下也寫作(G=G_1 imes G_2 imescdots imes G_n)。

（1）(g=g_1g_2cdots g_n)的分解式存在且唯一，其中(gin G,g_kin G_k)；

（2）(G_i,G_j)中的元素相乘可交換，即(g_ig_j=g_jg_i)恒成立。

　　直積分解將群分解為完全獨(dú)立幾個子群，這就方便了進(jìn)一步研究，可以進(jìn)行直積分解的群一般稱為可分解群，如果分解的子群都是單群，它又叫完全可分解群。我們有兩個基本問題：什么樣的群可分解？正規(guī)子群是否都可以作為分解因子？第一個問題的回答并不容易，我們目前只能對一些簡單的情景進(jìn)行判斷。比如對于循環(huán)群，可以證明無限循環(huán)群和階為素數(shù)冪的有限循環(huán)群的子群都有公共部分，故都是不可分解的。而對于階有多個素因子的循環(huán)群(G=langle aangle)，設(shè)它的階有互素分解(m=m_1m_2cdots m_n)，使用初等數(shù)論的知識可以有以下直積分解。

[G=langle a^{frac{m}{m_1}}anglelangle a^{frac{m}{m_2}}anglecdotslangle a^{frac{m}{m_n}}angle,quadleft|langle a^{frac{m}{m_k}}angleight|=m_k ag{14}]

　　那么是否每個正規(guī)子群都可以作為分解因子呢？這一點其實對完全可分解群是成立的。試想如果(G=G_1 imes G_2 imescdots imes G_n)是一個完全分解，且有(N rianglelefteq G)。首先有(Ncap G_k rianglelefteq G_k)，而(G_k)是單群，故有(Ncap G_k=G_k)或(Ncap G_k={e})。這就是說(N)完全落在了某幾個(G_k)中，它必定是某些(G_k)的直積，所以也可作為分解因子。另外使用同態(tài)定理你還可以證明，如果(G=N imes K)，則(G/Ncong K)，這就把商積拉到了與(N)平行的位置。

　　還有一個問題值得考慮，就是可分解群中的子群是被怎樣分解的呢？如果(G=G_1 imes G_2 imescdots imes G_n)，我們希望下式能成立，但它的成立是需要條件的。可以證明它成立的充要條件是(|G_k|)互質(zhì)，充分性使用剛才對循環(huán)群的討論證明(a)分解的每個因子都是其生成群的元素，必要性則通過構(gòu)造兩個(p)-階元（參考下一篇）之積來導(dǎo)出矛盾。另外，如果(G=G_1 imes G_2)且(G_1leqslant H)，則容易證明有(H=G_1 imes(G_2cap H))。

[H=(Hcap G_1) imes(Hcap G_2) imescdots(Hcap G_n) ag{15}]

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【抽象代数】 03的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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