本文只是簡單的介紹DTW算法的目的和實現。具體的DTW可以參考一下文獻：

離散序列的一致性度量方法：動態時間規整（DTW） ?http://blog.csdn.net/liyuefeilong/article/details/45748399

動態時間歸整/規整/彎曲(Dynamic time warping,DTW) ??http://www.cnblogs.com/flypiggy/p/3603192.html

【更新日志】2017-7-17

評論區一位同學指出文章有誤，筆者能力有限，暫未推導出錯誤之處，這里提供一個一般不會出錯的理論介紹網址：維基百科，畢竟能上維基百科的都是大家公認的。DTW相關維基百科戳這里，有興趣同學可以在評論區一起討論文章錯誤之處，謝謝

DTW是干什么的？

? ? 動態時間規整算法，故名思議，就是把兩個代表同一個類型的事物的不同長度序列進行時間上的“對齊”。比如DTW最常用的地方，語音識別中，同一個字母，由不同人發音，長短肯定不一樣，把聲音記錄下來以后，它的信號肯定是很相似的，只是在時間上不太對整齊而已。所以我們需要用一個函數拉長或者縮短其中一個信號，使得它們之間的誤差達到最小。

? ? ?再來看看運動捕捉，比如當前有一個很快的拳擊動作，另外有一個未加標簽的動作，我想判斷它是不是拳擊動作，那么就要計算這個未加標簽的動作和已知的拳擊動作的相似度。但是呢，他們兩個的動作長度不一樣，比如一個是100幀，一個是200幀，那么這樣直接對每一幀進行對比，計算到后面，誤差肯定很大，那么我們把已知拳擊動作的每一幀找到無標簽的動作的對應幀中，使得它們的距離最短。這樣便可以計算出兩個運動的相似度，然后設定一個閾值，滿足閾值范圍就把未知動作加上“拳擊”標簽。

DTW怎么計算？

下面我們來總結一下DTW動態時間規整算法的簡單的步驟：

1. 首先肯定是已知兩個或者多個序列，但是都是兩個兩個的比較，所以我們假設有兩個序列A={a1,a2,a3,...,am} ?B={b1,b2,b3,....,bn}，維度m>n

2. 然后用歐式距離計算出每序列的每兩點之間的距離，D(ai,bj) 其中1≤i≤m，1≤j≤n

? ?畫出下表：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

3. ?接下來就是根據上圖將最短路徑找出來。從D(a1,a2)沿著某條路徑到達D(am,bn)。找路徑滿足：假如當前節點是D(ai,bj)，那么下一個節點必須是在D(i+1,j)，D(i,j+1)，D(i+1,j+1)之間選擇，并且路徑必須是最短的。計算的時候是按照動態規劃的思想計算，也就是說在計算到達第(i,j)個節點的最短路徑時候，考慮的是左上角也即第(i-1,j)、(i-1,j-1)、(i,j-1)這三個點到(i,j)的最短距離。

4. 接下來從最終的最短距離往回找到那條最佳的輸出路徑， 從D(a1,b1)到D(am,bn)。他們的總和就是就是所需要的DTW距離

【注】如果不回溯路徑，直接在第3步的時候將左上角三個節點到下一個節點最短的點作為最優路徑節點，就是貪婪算法了。DTW是先計算起點到終點的最小值，然后從這個最小值回溯回去看看這個最小值都經過了哪些節點。

舉個栗子：

已知：兩個列向量a=[8 9 1]'，b=[ 2 5 4 6]'，其中'代表轉置，也就是把行向量轉換為列向量了

求：兩個向量利用動態時間規整以后的最短距離

第一步：計算對應點的歐式距離矩陣d【注意開根號】

6 3 4 27 4 5 31 4 3 5

第二步：計算累加距離D【從6出發到達5的累加距離】

6 9 13 1513 10 14 1614 14 13 18

計算方法如下：

D(1,1)=d(1,1)=6

D(1,2)=D(1,1)+d(1,2)=9

...

D(2,2)=min(D(1,2),D(1,1),D(2,1))+d(2,2)=6+4=10

...

D(m,n)=min(D(m-1,n),D(m-1,n-1),D(m,n-1))+d(m,n)

網上有很多代碼，但是大部分代碼有誤，比如網上流傳比較多的錯誤版本：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/archive/2013/05/09/3069036.html

正確的代碼可以自己寫，挺簡單，但是我找了一個可視化的代碼，大家可以參考一下：

dtw.m

?

function [Dist,D,k,w,rw,tw]=dtw(r,t,pflag) % % [Dist,D,k,w,rw,tw]=dtw(r,t,pflag) % % Dynamic Time Warping Algorithm % Dist is unnormalized distance between t and r % D is the accumulated distance matrix % k is the normalizing factor % w is the optimal path % t is the vector you are testing against % r is the vector you are testing % rw is the warped r vector % tw is the warped t vector % pflag plot flag: 1 (yes), 0(no) % % Version comments: % rw, tw and pflag added by Pau Mic[row,M]=size(r); if (row > M) M=row; r=r'; end; [row,N]=size(t); if (row > N) N=row; t=t'; end; d=sqrt((repmat(r',1,N)-repmat(t,M,1)).^2); %this makes clear the above instruction Thanks Pau Mic d D=zeros(size(d)); D(1,1)=d(1,1);for m=2:MD(m,1)=d(m,1)+D(m-1,1); end for n=2:ND(1,n)=d(1,n)+D(1,n-1); end for m=2:Mfor n=2:ND(m,n)=d(m,n)+min(D(m-1,n),min(D(m-1,n-1),D(m,n-1))); % this double MIn construction improves in 10-fold the Speed-up. Thanks Sven Mensingend endDist=D(M,N); n=N; m=M; k=1; w=[M N]; while ((n+m)~=2)if (n-1)==0m=m-1;elseif (m-1)==0n=n-1;else [values,number]=min([D(m-1,n),D(m,n-1),D(m-1,n-1)]);switch numbercase 1m=m-1;case 2n=n-1;case 3m=m-1;n=n-1;endendk=k+1;w=[m n; w]; % this replace the above sentence. Thanks Pau Mic end% warped waves rw=r(w(:,1)); tw=t(w(:,2));%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if pflag% --- Accumulated distance matrix and optimal pathfigure('Name','DTW - Accumulated distance matrix and optimal path', 'NumberTitle','off');main1=subplot('position',[0.19 0.19 0.67 0.79]);image(D);cmap = contrast(D);colormap(cmap); % 'copper' 'bone', 'gray' imagesc(D);hold on;x=w(:,1); y=w(:,2);ind=find(x==1); x(ind)=1+0.2;ind=find(x==M); x(ind)=M-0.2;ind=find(y==1); y(ind)=1+0.2;ind=find(y==N); y(ind)=N-0.2;plot(y,x,'-w', 'LineWidth',1);hold off;axis([1 N 1 M]);set(main1, 'FontSize',7, 'XTickLabel','', 'YTickLabel','');colorb1=subplot('position',[0.88 0.19 0.05 0.79]);nticks=8;ticks=floor(1:(size(cmap,1)-1)/(nticks-1):size(cmap,1));mx=max(max(D));mn=min(min(D));ticklabels=floor(mn:(mx-mn)/(nticks-1):mx);colorbar(colorb1);set(colorb1, 'FontSize',7, 'YTick',ticks, 'YTickLabel',ticklabels);set(get(colorb1,'YLabel'), 'String','Distance', 'Rotation',-90, 'FontSize',7, 'VerticalAlignment','bottom');left1=subplot('position',[0.07 0.19 0.10 0.79]);plot(r,M:-1:1,'-b');set(left1, 'YTick',mod(M,10):10:M, 'YTickLabel',10*rem(M,10):-10:0)axis([min(r) 1.1*max(r) 1 M]);set(left1, 'FontSize',7);set(get(left1,'YLabel'), 'String','Samples', 'FontSize',7, 'Rotation',-90, 'VerticalAlignment','cap');set(get(left1,'XLabel'), 'String','Amp', 'FontSize',6, 'VerticalAlignment','cap');bottom1=subplot('position',[0.19 0.07 0.67 0.10]);plot(t,'-r');axis([1 N min(t) 1.1*max(t)]);set(bottom1, 'FontSize',7, 'YAxisLocation','right');set(get(bottom1,'XLabel'), 'String','Samples', 'FontSize',7, 'VerticalAlignment','middle');set(get(bottom1,'YLabel'), 'String','Amp', 'Rotation',-90, 'FontSize',6, 'VerticalAlignment','bottom');% --- Warped signalsfigure('Name','DTW - warped signals', 'NumberTitle','off');subplot(1,2,1);set(gca, 'FontSize',7);hold on;plot(r,'-bx');plot(t,':r.');hold off;axis([1 max(M,N) min(min(r),min(t)) 1.1*max(max(r),max(t))]);grid;legend('signal 1','signal 2');title('Original signals');xlabel('Samples');ylabel('Amplitude');subplot(1,2,2);set(gca, 'FontSize',7);hold on;plot(rw,'-bx');plot(tw,':r.');hold off;axis([1 k min(min([rw; tw])) 1.1*max(max([rw; tw]))]);grid;legend('signal 1','signal 2');title('Warped signals');xlabel('Samples');ylabel('Amplitude');end

測試代碼

?

test.m

?

clear clc a=[8 9 1 9 6 1 3 5]'; b=[2 5 4 6 7 8 3 7 7 2]'; [Dist,D,k,w,rw,tw] = DTW(a,b,1); fprintf('最短距離為%d\n',Dist) fprintf('最優路徑為') w

測試結果：

d =6 3 4 2 1 0 5 1 1 67 4 5 3 2 1 6 2 2 71 4 3 5 6 7 2 6 6 17 4 5 3 2 1 6 2 2 74 1 2 0 1 2 3 1 1 41 4 3 5 6 7 2 6 6 11 2 1 3 4 5 0 4 4 13 0 1 1 2 3 2 2 2 3最短距離為27 最優路徑為 w =1 11 21 31 41 51 62 63 74 85 96 107 108 10

規整以后可視化如下

?

?

【更新日志：2019-9-11】

為了驗證結果正確性，在python中也找到了一個工具庫`dtw`

安裝方法

pip install dtw

接收參數與返回參數

def dtw(x, y, dist, warp=1, w=inf, s=1.0):"""Computes Dynamic Time Warping (DTW) of two sequences.:param array x: N1*M array:param array y: N2*M array:param func dist: distance used as cost measure:param int warp: how many shifts are computed.:param int w: window size limiting the maximal distance between indices of matched entries |i,j|.:param float s: weight applied on off-diagonal moves of the path. As s gets larger, the warping path is increasingly biased towards the diagonalReturns the minimum distance, the cost matrix, the accumulated cost matrix, and the wrap path."""

輸入參數：前面x和y是輸入的兩個序列點，dist是計算距離的方法，因為有很多距離計算的方法，只不過通常使用歐式距離，直接使用numpy里面的linalg.norm即可。

返回值：這個d有點蒙，但是如果想得到上面的27那個結果，可以看accumulated cost matrix這個返回值，wrap path就是兩條路徑的對應點。

調用方法(官方案例):

import numpy as np# We define two sequences x, y as numpy array # where y is actually a sub-sequence from x x = np.array([2, 0, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 0]).reshape(-1, 1) y = np.array([1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 0]).reshape(-1, 1)from dtw import dtweuclidean_norm = lambda x, y: np.abs(x - y)d, cost_matrix, acc_cost_matrix, path = dtw(x, y, dist=euclidean_norm)print(d)

本文代碼和文章已經同步到微信公眾號中，公眾號與本博客將持續同步更新運動捕捉、機器學習、深度學習、計算機視覺算法，敬請關注

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【重大修改】动态时间规整（Dynamic Time Warping）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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