關于文章 Microfacet Models for Refraction through Rough Sufaces的一點筆記，歡迎指正。

BSDF

BSDF(Bidirectional Sacttering Distribution Function) 描述了光如何在物體表面散射。如果僅僅限制反射或者透射，BSDF經常被稱作BRDF或者BTDF,然而BSDF將是BRDF，f_s,BTDF,f_t 項的綜合作用。

微表面法線分布函數 D(m)

給定一個以m為中心的無窮小的立體角dw_m和一個宏觀表面積dA，D(m)dw_m就是在w_m 方向上微觀表面投影在宏觀表面上的面積比例。D是密度函數，單位是1/steradians，有著一下性質：

可以結合此圖理解
1.

2.總的微表面面積至少和宏觀面積一樣大

這里個人的理解是，D本身就是投影過的函數 (隱藏著一個cos 項，即從微觀表面投影到宏觀表面的投影項)，所以在w_m 的方向上的投影的面積至少和原先定義宏觀面積dA一樣大

3.在任何方向v上的微表面的投影是和宏觀表面上的投影是一樣的

4.當v=n的時候

Shadowing-Masking函數 G

G(i,o,m) 描述了在法線方向m，從入射方向i，和出射方向o之間的可見度, 是對微表面的細節描寫，

G(i,o,m)有著一下特性:

5.約束在[0,1]之間

6. i, o方向都可見的話，則G是對稱的

7.如果入射方向 i 或者出射方向 o 是在微表面的背面，則G = 0

整合BSDF

我們需要應用一個修正因子在入射微表面的irradiance和離開微表面的散射的radiance根據投影的面積測量。

接下來著重解釋 f_s^m(i,o,m) 的含義

p代表從入射方向進入的能量

是Dirac delta函數， 在數學定義上是廣義的函數。他們總是有著一個自己的度量值，例如在o方向的立體角dw_o ，并且值由他們的積分來決定。

這里的g(o) 是任何函數。
在方程8中我們想要表達微表面法線和相關立體角之間的關系。假定對于任何的入射和出射方向，最多有一個微表面能夠把能量從 i 散射到 o .為了計算方便，我們引入半程向量的概念，即 i 和 o 的法線方向 h(i,o), 用 h 和 微表面法線 m 來代替 i, o 。但由于Dirac增量函數是根據一個積分定義的，所以相當于積分換元。由此方程9可以寫成：

我們再此定義Jacobian

由于 f_s ^m(i,o,m) = f_r ^m(i,o,m) + f_t ^m(i,o,m);
對于f_r^m(i,o,m) 理想反射，我們有如下定義：


對于理想反射使用Fresnel factor F代表能量有多少被傳遞
把14式帶入11式可得：

對于理想折射 f_t^m 來說 由于折射發生在表面兩邊 由此定義折射率n_i n_o, 由于在兩種不同的介質中，入射方向和出射方向會發生改變。Snell 定律可由半程向量h_t 表達 由此可知：


對于Jacobian來說 由上圖可知

將17式帶入11式中： 由于總能量被折射和反射，那么對于折射的能量將是 1 - F(i,m):

將f_r^m 和f_t ^m帶替 f_s^m即可得最終式。

對于F D G的選擇

對于F(i,m) 的選擇，這里給出相應公式

是不是感覺異常的復雜，這里再給出一種近似：Schlick近似

這個就相當簡單了

對于G(i,o,m) 我們使用Smith近似，Smith近似假設入射和出射的可見度不相互影響即可以近似為

即從入射方向看向著色點和出射發向看向出射點的可見性。

對于法線分布，我們使用如下法線采樣函數：

由于對于不同 的NDF(normal distribution function)來說 對應的采樣函數和G(i,o,m)是不同的
所以這里僅介紹 (以下都是法線分布函數)
Beckmann Distribution

a即粗糙程度
相對應的G項

Phong Distribution

這里定義：

對于Smith G₁ 對于Phong模型沒有解析的解，但由于Phong模型和Beckmann分布是非常相似的，Smith是依賴于NDF的，所以使用
來帶入27式，以便估計G項。
采樣函數:

GGX Distribution(又名Trowbridge-Reitz 簡稱TR)

GGX又有tail函數之稱，原因請看稍后的圖像。

對于三種分布函數的圖像化：

紅線但又泛著藍色的是Backmann和Phong的分布，綠線代表GGX函數從圖中可以看見對于GGX而言在20多度的時候，下降緩慢，但不為0，這就是長尾巴的含義，同時也有著良好的性質。

同理紅線代表Backmann和Phong，綠線代表GGX, 入射方向基本和法線方向相同時，G項為1，不產生作用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的粗糙表面的微表面模型——Physically Based Material的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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