參考：DR_CAN

1.介紹

解決一個控制系統(tǒng)的問題：

• 對研究對象進(jìn)行分析
• 控制器設(shè)計
• 測試

分析被控對象的物理特性及動態(tài)表現(xiàn)，在這個基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型可以是動力學(xué)模型、熱力學(xué)模型、流體力學(xué)模型和經(jīng)濟(jì)學(xué)模型等，然后在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行控制器的設(shè)計，為滿足不同的要求就要應(yīng)用不同的控制方法（傳統(tǒng)控制控制、PID控制、非線性控制、自適應(yīng)控制和優(yōu)化控制等）,緊接著選擇測試平臺，可以是仿真平臺、實驗室模型樣機(jī)和真實設(shè)備等。最后不斷將實驗結(jié)果與模型比較，對數(shù)學(xué)模型不斷的驗證和更新。

涉及的內(nèi)容： 動態(tài)系統(tǒng)建模：

• 電力，KCL，KVL
• 流體
• 熱力學(xué)
• 機(jī)械系統(tǒng)

拉普拉斯+微分方程 時域分析 頻域分析

2.電路系統(tǒng)建模

基礎(chǔ)元件：

流速：

電阻電壓：

電量:

電感：

---

基爾霍夫定律 KCL：所有進(jìn)入某節(jié)點的電流的總和等于所有離開這個節(jié)點的電流的總和

KVL：沿著閉合回路所有元件兩端的電壓的代數(shù)和為零

---

KVL

兩邊求導(dǎo)

---

loop 1:

loop 2:

合并：

這是一個大圈，因此在用KVL時，不一定都用小圈，也可用大圈。

loop 1:

loop 2:

由（1）（2）式得

由（2）得

由（3）（4）式得

求

和 的關(guān)系

由（5）（6）式得

小結(jié)： KVL列方程，然后消掉自己定義的電流

---

loop 1:

loop 2:

loop 3:

我們的目的是找到

和 的關(guān)系,而 ,因此想先消去 和 ，再消去

由（1）（2）式得

由（3）（4）式得

（5）式還有

沒消去，為了不引入新的變量，對（4）式求導(dǎo)

由（5）（6）式得

只有電流

，這樣就可以引入 了

3.流體系統(tǒng)建模

流體系統(tǒng)的幾個基本元素： 此處默認(rèn)為不可壓縮的均質(zhì)流體

壓強(qiáng)有三個概念，比如說對于容器的液體來說，它的高度是

，橫截面積是 ，由流體重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)稱之為靜壓（Hydrostatic Pressure）

除了液體的壓強(qiáng)以外還有大氣壓強(qiáng)，絕對壓強(qiáng)（Absolute Pressure）

測量出來的壓力稱為表壓（Gauge Pressure）

---

流阻Fluid Resistance 產(chǎn)生流阻的原因是流體在流動的過程中，通過一些管道連接等，這些都會阻礙流體的流動，因此會產(chǎn)生壓差，壓差和流量相關(guān)

:每秒鐘通過橫截面的流體的質(zhì)量，兩邊的壓力差越大，每秒鐘流過的流體的越多。

流阻和電阻的概念非常相似

理想壓源

---

基本法則-質(zhì)量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素，還需要基本法則把它們聯(lián)系在一起，就像電路當(dāng)中有基爾霍夫定律，在力學(xué)當(dāng)中有牛頓定律一樣，這里面我們用到的是質(zhì)量守恒定律，容器內(nèi)流體質(zhì)量的變化

式子兩邊除以

容器底部受到的壓力

其動態(tài)方程為

---

進(jìn)口處為

,出口處 ，容器得橫截面積為 ，出口流阻為u ，求液面高度的動態(tài)方程 .

由質(zhì)量守恒定律

流阻壓差

4.拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是控制理論的基礎(chǔ)，它廣泛的應(yīng)用于工程分析當(dāng)中，它可以把時域(

)上的函數(shù)變換到復(fù)數(shù)域( )上，從而大大簡化系統(tǒng)分析的難度和復(fù)雜程度。

先從一個簡單的電路系統(tǒng)開始，它的動態(tài)方程

定義系統(tǒng)的輸入為

，輸出為 ，分析電流的變化。本質(zhì)上就是求解微分方程的過程，假設(shè) 就是變化過程， 隱含了系統(tǒng)的特征，就是微分方程表現(xiàn)出來的內(nèi)容，三者的關(guān)系其實是一個卷積的過程。因此分析這樣一個系統(tǒng)，它涉及到了卷積和微分方程，分析和計算起來都非常麻煩，而且不是很直觀。拉普拉斯變換可以幫助我們解決這些問題，通過拉普拉斯變換，微分方程變成了代數(shù)方程，卷積運算變成了乘法運算。

---

對時域函數(shù)

作拉普拉斯變換：

是一個平面圖形，經(jīng)過拉普拉斯變換后三維的復(fù)數(shù)域。當(dāng) 時，從箭頭的方向看過去，就是傅里葉變換，可以看到拉普拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系。

從上向下看就是復(fù)平面，做工程的往往會關(guān)注系統(tǒng)的極點和零點在復(fù)平面上的位置.

---

指數(shù)函數(shù)

的拉普拉斯變換：

拉普拉斯變換的重要性質(zhì)：符合線性變換，線性變換符合疊加原理

---

正弦

的拉普拉斯變換：根據(jù)歐拉公式轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)

兩式相減：

因為拉普拉斯變換是一個線性變換：

---

導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：

復(fù)合函數(shù)求積分，用到分部積分：

為拉普拉斯變換，很多時候都把初始條件設(shè)置為 。

同理可得

---

卷積的拉普拉斯變換 能夠?qū)⒕矸e運算變成乘積運算，大大簡化運算和分析的復(fù)雜程度。

---

回到最初的電路的動態(tài)方程：

兩端作拉普拉斯變換：

可以看到，經(jīng)過拉普拉斯變換把微分方程變換為代數(shù)方程，它只有加減乘除，非常的簡單。下圖方框稱之為傳遞函數(shù)。

5.拉普拉斯變換的收斂域（ROC）與逆變換（ILT）

指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換：

如果

是發(fā)散的

加上限制條件，收斂域ROC（Region of lonvergence）,把

根據(jù)歐拉公式：

這一項僅僅帶來的是振動，并不會對系統(tǒng)的收斂產(chǎn)生影響。因此收斂域為

---

前面我們已經(jīng)知道，拉普拉斯能簡化運算和分析，為什么還需要微分方程？因為微分方程能夠描述動態(tài)世界的數(shù)學(xué)手段。

在經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論當(dāng)中，研究對象一般是常系數(shù)微分方程，對應(yīng)的系統(tǒng)就是線性時不變系統(tǒng)，如果是非線性系統(tǒng)的話，一般會在平衡點附近作線性化處理，或者直接采用非線性分析手段。

用拉普拉斯變換求解微分方程的三個步驟：

• 時域轉(zhuǎn)化到復(fù)頻域 ,這里用到拉普拉斯變換
• 求解代數(shù)方程
• 把結(jié)果從復(fù)頻域轉(zhuǎn)回時域，用到拉普拉斯逆變換

---

拉普拉斯逆變換

例子

兩端拉普拉斯逆變換：

稱為極點Pole

---

其中，根據(jù)歐拉公式有

(2)-(1)

6.拉&傳&微的關(guān)系

重點講解傳遞函數(shù)

這部分內(nèi)容非常重要，對經(jīng)典控制理論、根軌跡、伯德圖、信號處理等學(xué)習(xí)都有很大的幫助，因為都是從這里伸展出去的。

流體系統(tǒng)

令A(yù)=1

輸出

輸入

兩端作拉普拉斯變換：

稱為傳遞函數(shù)

假設(shè)系統(tǒng)的輸入為常數(shù)，對常數(shù)作拉普拉斯變換

當(dāng)時間

，系統(tǒng)收斂到 。系統(tǒng)的關(guān)鍵點在指數(shù)部分， 不變， 隨著時間不斷的衰減，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

7.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

流體系統(tǒng)

動態(tài)方程：

輸出是一階，輸入是單位階躍，稱為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) Unit Step Response.

一般形式：

B=-1

A=1

兩邊作拉普拉斯逆變換：

a越大收斂越快。

時間常數(shù) time constant

即

的時候達(dá)到最終狀態(tài)的63%。

有時候還會引入另一個概念-穩(wěn)定時間(Steady State)（整定時間）Setting time

對于一階線性系統(tǒng)來說，時間常數(shù)是特有的，因此可以用時間常數(shù)作系統(tǒng)識別。

根據(jù)上一節(jié)有：

4秒鐘達(dá)到穩(wěn)定時間:

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

---

一階系統(tǒng)與信號處理

一階系統(tǒng)是一個低通濾波器，低通濾波器只反映了低頻變化，高頻變化則被過濾了。對于流體系統(tǒng)來說，容器內(nèi)的液體就起到了抵抗高速變化的作用，是因為它有積累，所以說有積累的都是低通濾波器，它對高速變化不敏感。最典型的積累就是積分，如：

高頻變化被縮放100倍，相當(dāng)于被過濾掉了。所以說大家平時多做積累，有了容量以后面對高速變化的世界才可以做到處亂不驚。

---

另一個角度

一階線性時不變系統(tǒng)1st order LTI：

單調(diào)增， 逐漸減小， 增加速度減緩，最后為零，可以得到一樣的圖。

其他情況，

等

Phase-Portrait

8.頻率響應(yīng)與濾波器

信號通過線性時不變系統(tǒng)后頻率不變

振幅響應(yīng) Magnitude Response：

輻角響應(yīng) Phase Response：

一般形式：

兩邊作拉普拉斯變換：

其中，

:極點Poles

拉普拉斯逆變換：

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，

的實部小于0，有

ss:Steady State 穩(wěn)態(tài)，由上式可以看出頻率響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。求

:

復(fù)數(shù)表達(dá)：

歐拉公式：

非常非常的重要:

---

積分

越大，頻率越高，頻率響應(yīng)越小，因此頻率響應(yīng)是一個低通濾波器

例子：

9.一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

一階系統(tǒng)：

當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)

所以一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是一個低通濾波

總結(jié)： 無論是室內(nèi)空調(diào)系統(tǒng)、流體系統(tǒng)還是含電容器的電路系統(tǒng)，容器就是一個緩沖器，其本質(zhì)是抑制高速變化。緩沖也會帶來延遲。

Matlab 仿真

積分前后的對比

濾波信號后與原函數(shù)的對比 濾波信號延遲45°，振幅變?yōu)?.707左右

和 互換，就是高通濾波器：

把縱軸改為

,就得到伯德圖了。

10.二階系統(tǒng)對初始條件的動態(tài)響應(yīng)

二階系統(tǒng)無處不在,運動現(xiàn)象普遍是二階系統(tǒng)，如牛頓第二定律

質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)

阻尼和速度成正比，牛頓第二定律：

:固有頻率Natural Frequency

:阻尼比Damping Ratio

研究零初始條件，無外力的情況下：

將條件代入：

simulink

位置為5，速度為0

特征方程 Characteristic Equation:

---

• 過阻尼Over damped

快

---

• 臨界阻尼Critial damped

比過阻尼收斂速度快一些

---

• 欠阻尼Under damped

其中

為阻尼固有頻率，

從

的表達(dá)式可以看出是震蕩衰減的

---

這是正弦函數(shù)，沒有衰減

---

---

11.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)

輸入：

為單位化 輸出：

上一節(jié)用的是微分方程的通解和特解，這小節(jié)用拉普拉斯變換：

傳遞函數(shù)：

• 單位階躍

極點

欠阻尼

---

時：

---

時:

---

:

---

因此是震蕩衰減的。

---

Matlab 仿真

12.二階系統(tǒng)的性能分析與比較

如何衡量系統(tǒng)的性能？

欠阻尼動態(tài)響應(yīng)：

延遲時間Delay time：系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)50%所需的時間

上升時間Rise time：100%

最大超調(diào)量 Max Overshoot

穩(wěn)態(tài)時間或調(diào)節(jié)時間Setting time

:

:

: 2%

5%

---

分析手段和方法

• 計分規(guī)則：1分，2分，3分

越小越好

越小越好

越小越好

雷達(dá)圖

13.二階系統(tǒng)頻率響應(yīng)分析

不同阻尼比的頻率響應(yīng)

振幅響應(yīng)：

輻角響應(yīng)：

用這個結(jié)論分析二階系統(tǒng)

傳遞函數(shù)：

:固有頻率

:阻尼比

其中

,輸入頻率比上固有頻率

振幅響應(yīng)：

分析

---

---

• ，輸入頻率等于固有頻率

因此在

一定存在極值 求極值，令

當(dāng)

時存在極值

這個頻率稱為系統(tǒng)的諧振振頻率，

，諧振頻率和固有頻率非常接近 。

當(dāng)輸入頻率等于諧振頻率時：

---

• 時：

• 時：

• 時：

對于阻尼比比較小的系統(tǒng)來說，如果外力的頻率在諧振頻率（極值）附近，那么系統(tǒng)就會表現(xiàn)出強(qiáng)烈的振幅響應(yīng)，不同的系統(tǒng)有不同的諧振頻率，對外界刺激響應(yīng)也就不同。

不同阻尼比的頻率響應(yīng)

14.伯德圖

伯德圖是表示頻率響應(yīng)的圖示方法，頻率響縱坐標(biāo)改為

，和輻角響應(yīng)合稱伯德圖。

對于傳遞函數(shù)：

直接在命令窗口輸入：

>> bode([1 2],[1 4])

---

dB decibel 分貝 dec 指十分之一，bel人名，分貝表示的是電話、電報的信號損失

: 測量功率

: 參考功率

加對數(shù)是為了把較大的數(shù)值降低，便于記錄，如

振幅和功率為平方關(guān)系

---

積分

---

低頻

截至頻率

高頻

---

例：

拆分

疊加>> bode([0 1],[0 2])

>> bode([1/4 1],[0 1])

>> bode([0 1],[1/8 1])

>> bode([1 4],[1 8])

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性系统的频率响应分析实验报告_动态系统的建模与分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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