參考：DR_CAN

1.介紹

解決一個控制系統的問題：

• 對研究對象進行分析
• 控制器設計
• 測試

分析被控對象的物理特性及動態表現，在這個基礎上建立數學模型，數學模型可以是動力學模型、熱力學模型、流體力學模型和經濟學模型等，然后在數學模型的基礎上進行控制器的設計，為滿足不同的要求就要應用不同的控制方法（傳統控制控制、PID控制、非線性控制、自適應控制和優化控制等）,緊接著選擇測試平臺，可以是仿真平臺、實驗室模型樣機和真實設備等。最后不斷將實驗結果與模型比較，對數學模型不斷的驗證和更新。

涉及的內容： 動態系統建模：

• 電力，KCL，KVL
• 流體
• 熱力學
• 機械系統

拉普拉斯+微分方程 時域分析 頻域分析

2.電路系統建模

基礎元件：

流速：

電阻電壓：

電量:

電感：

---

基爾霍夫定律 KCL：所有進入某節點的電流的總和等于所有離開這個節點的電流的總和

KVL：沿著閉合回路所有元件兩端的電壓的代數和為零

---

KVL

兩邊求導

---

loop 1:

loop 2:

合并：

這是一個大圈，因此在用KVL時，不一定都用小圈，也可用大圈。

loop 1:

loop 2:

由（1）（2）式得

由（2）得

由（3）（4）式得

求

和 的關系

由（5）（6）式得

小結： KVL列方程，然后消掉自己定義的電流

---

loop 1:

loop 2:

loop 3:

我們的目的是找到

和 的關系,而 ,因此想先消去 和 ，再消去

由（1）（2）式得

由（3）（4）式得

（5）式還有

沒消去，為了不引入新的變量，對（4）式求導

由（5）（6）式得

只有電流

，這樣就可以引入 了

3.流體系統建模

流體系統的幾個基本元素： 此處默認為不可壓縮的均質流體

壓強有三個概念，比如說對于容器的液體來說，它的高度是

，橫截面積是 ，由流體重力產生的壓強稱之為靜壓（Hydrostatic Pressure）

除了液體的壓強以外還有大氣壓強，絕對壓強（Absolute Pressure）

測量出來的壓力稱為表壓（Gauge Pressure）

---

流阻Fluid Resistance 產生流阻的原因是流體在流動的過程中，通過一些管道連接等，這些都會阻礙流體的流動，因此會產生壓差，壓差和流量相關

:每秒鐘通過橫截面的流體的質量，兩邊的壓力差越大，每秒鐘流過的流體的越多。

流阻和電阻的概念非常相似

理想壓源

---

基本法則-質量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素，還需要基本法則把它們聯系在一起，就像電路當中有基爾霍夫定律，在力學當中有牛頓定律一樣，這里面我們用到的是質量守恒定律，容器內流體質量的變化

式子兩邊除以

容器底部受到的壓力

其動態方程為

---

進口處為

,出口處 ，容器得橫截面積為 ，出口流阻為u ，求液面高度的動態方程 .

由質量守恒定律

流阻壓差

4.拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是控制理論的基礎，它廣泛的應用于工程分析當中，它可以把時域(

)上的函數變換到復數域( )上，從而大大簡化系統分析的難度和復雜程度。

先從一個簡單的電路系統開始，它的動態方程

定義系統的輸入為

，輸出為 ，分析電流的變化。本質上就是求解微分方程的過程，假設 就是變化過程， 隱含了系統的特征，就是微分方程表現出來的內容，三者的關系其實是一個卷積的過程。因此分析這樣一個系統，它涉及到了卷積和微分方程，分析和計算起來都非常麻煩，而且不是很直觀。拉普拉斯變換可以幫助我們解決這些問題，通過拉普拉斯變換，微分方程變成了代數方程，卷積運算變成了乘法運算。

---

對時域函數

作拉普拉斯變換：

是一個平面圖形，經過拉普拉斯變換后三維的復數域。當 時，從箭頭的方向看過去，就是傅里葉變換，可以看到拉普拉斯變換和傅里葉變換的關系。

從上向下看就是復平面，做工程的往往會關注系統的極點和零點在復平面上的位置.

---

指數函數

的拉普拉斯變換：

拉普拉斯變換的重要性質：符合線性變換，線性變換符合疊加原理

---

正弦

的拉普拉斯變換：根據歐拉公式轉化為復指數

兩式相減：

因為拉普拉斯變換是一個線性變換：

---

導數的拉普拉斯變換：

復合函數求積分，用到分部積分：

為拉普拉斯變換，很多時候都把初始條件設置為 。

同理可得

---

卷積的拉普拉斯變換 能夠將卷積運算變成乘積運算，大大簡化運算和分析的復雜程度。

---

回到最初的電路的動態方程：

兩端作拉普拉斯變換：

可以看到，經過拉普拉斯變換把微分方程變換為代數方程，它只有加減乘除，非常的簡單。下圖方框稱之為傳遞函數。

5.拉普拉斯變換的收斂域（ROC）與逆變換（ILT）

指數函數的拉普拉斯變換：

如果

是發散的

加上限制條件，收斂域ROC（Region of lonvergence）,把

根據歐拉公式：

這一項僅僅帶來的是振動，并不會對系統的收斂產生影響。因此收斂域為

---

前面我們已經知道，拉普拉斯能簡化運算和分析，為什么還需要微分方程？因為微分方程能夠描述動態世界的數學手段。

在經典控制理論和現代控制理論當中，研究對象一般是常系數微分方程，對應的系統就是線性時不變系統，如果是非線性系統的話，一般會在平衡點附近作線性化處理，或者直接采用非線性分析手段。

用拉普拉斯變換求解微分方程的三個步驟：

• 時域轉化到復頻域 ,這里用到拉普拉斯變換
• 求解代數方程
• 把結果從復頻域轉回時域，用到拉普拉斯逆變換

---

拉普拉斯逆變換

例子

兩端拉普拉斯逆變換：

稱為極點Pole

---

其中，根據歐拉公式有

(2)-(1)

6.拉&傳&微的關系

重點講解傳遞函數

這部分內容非常重要，對經典控制理論、根軌跡、伯德圖、信號處理等學習都有很大的幫助，因為都是從這里伸展出去的。

流體系統

令A=1

輸出

輸入

兩端作拉普拉斯變換：

稱為傳遞函數

假設系統的輸入為常數，對常數作拉普拉斯變換

當時間

，系統收斂到 。系統的關鍵點在指數部分， 不變， 隨著時間不斷的衰減，所以系統是穩定的。

7.一階系統的單位階躍響應

流體系統

動態方程：

輸出是一階，輸入是單位階躍，稱為一階系統的單位階躍響應 Unit Step Response.

一般形式：

B=-1

A=1

兩邊作拉普拉斯逆變換：

a越大收斂越快。

時間常數 time constant

即

的時候達到最終狀態的63%。

有時候還會引入另一個概念-穩定時間(Steady State)（整定時間）Setting time

對于一階線性系統來說，時間常數是特有的，因此可以用時間常數作系統識別。

根據上一節有：

4秒鐘達到穩定時間:

系統的傳遞函數：

---

一階系統與信號處理

一階系統是一個低通濾波器，低通濾波器只反映了低頻變化，高頻變化則被過濾了。對于流體系統來說，容器內的液體就起到了抵抗高速變化的作用，是因為它有積累，所以說有積累的都是低通濾波器，它對高速變化不敏感。最典型的積累就是積分，如：

高頻變化被縮放100倍，相當于被過濾掉了。所以說大家平時多做積累，有了容量以后面對高速變化的世界才可以做到處亂不驚。

---

另一個角度

一階線性時不變系統1st order LTI：

單調增， 逐漸減小， 增加速度減緩，最后為零，可以得到一樣的圖。

其他情況，

等

Phase-Portrait

8.頻率響應與濾波器

信號通過線性時不變系統后頻率不變

振幅響應 Magnitude Response：

輻角響應 Phase Response：

一般形式：

兩邊作拉普拉斯變換：

其中，

:極點Poles

拉普拉斯逆變換：

對于穩定系統，

的實部小于0，有

ss:Steady State 穩態，由上式可以看出頻率響應就是穩態響應。求

:

復數表達：

歐拉公式：

非常非常的重要:

---

積分

越大，頻率越高，頻率響應越小，因此頻率響應是一個低通濾波器

例子：

9.一階系統的頻率響應

一階系統：

當

當

當

所以一階系統的頻率響應是一個低通濾波

總結： 無論是室內空調系統、流體系統還是含電容器的電路系統，容器就是一個緩沖器，其本質是抑制高速變化。緩沖也會帶來延遲。

Matlab 仿真

積分前后的對比

濾波信號后與原函數的對比 濾波信號延遲45°，振幅變為0.707左右

和 互換，就是高通濾波器：

把縱軸改為

,就得到伯德圖了。

10.二階系統對初始條件的動態響應

二階系統無處不在,運動現象普遍是二階系統，如牛頓第二定律

質量彈簧阻尼系統

阻尼和速度成正比，牛頓第二定律：

:固有頻率Natural Frequency

:阻尼比Damping Ratio

研究零初始條件，無外力的情況下：

將條件代入：

simulink

位置為5，速度為0

特征方程 Characteristic Equation:

---

• 過阻尼Over damped

快

---

• 臨界阻尼Critial damped

比過阻尼收斂速度快一些

---

• 欠阻尼Under damped

其中

為阻尼固有頻率，

從

的表達式可以看出是震蕩衰減的

---

這是正弦函數，沒有衰減

---

---

11.二階系統的單位階躍響應

彈簧質量阻尼系統

輸入：

為單位化 輸出：

上一節用的是微分方程的通解和特解，這小節用拉普拉斯變換：

傳遞函數：

• 單位階躍

極點

欠阻尼

---

時：

---

時:

---

:

---

因此是震蕩衰減的。

---

Matlab 仿真

12.二階系統的性能分析與比較

如何衡量系統的性能？

欠阻尼動態響應：

延遲時間Delay time：系統達到穩態50%所需的時間

上升時間Rise time：100%

最大超調量 Max Overshoot

穩態時間或調節時間Setting time

:

:

: 2%

5%

---

分析手段和方法

• 計分規則：1分，2分，3分

越小越好

越小越好

越小越好

雷達圖

13.二階系統頻率響應分析

不同阻尼比的頻率響應

振幅響應：

輻角響應：

用這個結論分析二階系統

傳遞函數：

:固有頻率

:阻尼比

其中

,輸入頻率比上固有頻率

振幅響應：

分析

---

---

• ，輸入頻率等于固有頻率

因此在

一定存在極值 求極值，令

當

時存在極值

這個頻率稱為系統的諧振振頻率，

，諧振頻率和固有頻率非常接近 。

當輸入頻率等于諧振頻率時：

---

• 時：

• 時：

• 時：

對于阻尼比比較小的系統來說，如果外力的頻率在諧振頻率（極值）附近，那么系統就會表現出強烈的振幅響應，不同的系統有不同的諧振頻率，對外界刺激響應也就不同。

不同阻尼比的頻率響應

14.伯德圖

伯德圖是表示頻率響應的圖示方法，頻率響縱坐標改為

，和輻角響應合稱伯德圖。

對于傳遞函數：

直接在命令窗口輸入：

>> bode([1 2],[1 4])

---

dB decibel 分貝 dec 指十分之一，bel人名，分貝表示的是電話、電報的信號損失

: 測量功率

: 參考功率

加對數是為了把較大的數值降低，便于記錄，如

振幅和功率為平方關系

---

積分

---

低頻

截至頻率

高頻

---

例：

拆分

疊加>> bode([0 1],[0 2])

>> bode([1/4 1],[0 1])

>> bode([0 1],[1/8 1])

>> bode([1 4],[1 8])

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性系统的频率响应分析实验报告_动态系统的建模与分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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