前言

在求解直線(xiàn)與圓相交得到的弦的長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，可以采用的思路很多：①利用幾何方法，即利用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑組成的(Rt riangle)來(lái)求解決；②弦長(zhǎng)公式，即(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)來(lái)求解；③利用直線(xiàn)的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義來(lái)求解；

思路引申

當(dāng)涉及到的是直線(xiàn)和圓時(shí)，此時(shí)思路①最簡(jiǎn)單快捷；但是從思路可移植的角度來(lái)思考[比如問(wèn)題變化為直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相交得到的弦長(zhǎng)問(wèn)題]，思路③應(yīng)該是最值得掌握的思路，此時(shí)思路①已經(jīng)不能用了，思路②的運(yùn)算量往往比較大，容易出錯(cuò)；

但思路③有個(gè)問(wèn)題，在使用直線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，必須要檢驗(yàn)其是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，否則結(jié)果往往會(huì)出錯(cuò)；在此有兩個(gè)問(wèn)題：其一，為什么使用直線(xiàn)的參數(shù)方程的幾何意義求弦長(zhǎng)問(wèn)題簡(jiǎn)單？其二，為什么必須將直線(xiàn)的參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式？

問(wèn)題解析

預(yù)備知識(shí)：

借助一維數(shù)軸來(lái)理解(t)的幾何意義

我們知道，一維數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，如圖所示，水平放置的數(shù)軸，其上的點(diǎn)(A)、(O)、(B)、(C)、(D)分別代表實(shí)數(shù)(-2)，(0)，(1)，(2)，(3)；動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)標(biāo)記為(t)，那么(t=2)就對(duì)應(yīng)點(diǎn)(C)，(t=-2)就對(duì)應(yīng)點(diǎn)(A)，(t=0)就對(duì)應(yīng)點(diǎn)(O)，(t=1)就對(duì)應(yīng)點(diǎn)(B)，當(dāng)變量(t)取遍所有的實(shí)數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)就能代表數(shù)軸上所有的實(shí)數(shù)。這時(shí)候?qū)崝?shù)(t)就是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)的一維坐標(biāo)。

作用：此時(shí)若求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，則線(xiàn)段(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3);線(xiàn)段(BD=)(|t_B-t_D|)(=|1-3|)(=2);

接下來(lái)，我們利用如下的參數(shù)方程[已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形式]來(lái)求線(xiàn)段長(zhǎng)或弦長(zhǎng)；

在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{sqrt{2}}{2}t}\{y=1+cfrac{sqrt{2}}{2}t}end{array}ight.)((t)為參數(shù))，

問(wèn)題1：為什么使用直線(xiàn)的參數(shù)方程的幾何意義求弦長(zhǎng)問(wèn)題簡(jiǎn)單？

當(dāng)(t_0=0)時(shí)，其對(duì)于點(diǎn)(P_0(2，1))；當(dāng)(t_1=1)時(shí)，其對(duì)于點(diǎn)(P_1(2+cfrac{sqrt{2}}{2}，1+cfrac{sqrt{2}}{2}))；

此時(shí)求線(xiàn)段(|P_0P_1|)的長(zhǎng)度，可以用如下的兩個(gè)思路來(lái)求解：

思路①：(|P_0P_1|=sqrt{(2+cfrac{sqrt{2}}{2}-2)^2+(1+cfrac{sqrt{2}}{2}-1)^2}=sqrt{(cfrac{sqrt{2}}{2})^2+(cfrac{sqrt{2}}{2})^2}=1)；

思路②：(|P_0P_1|=|t_0-t_1|=|0-1|=1)；

很顯然，思路②的運(yùn)算簡(jiǎn)單的多，只是好些同學(xué)不懂得為什么要這樣計(jì)算？

很顯然，思路①采用的是兩個(gè)點(diǎn)的二維坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算，而思路①是利用兩個(gè)點(diǎn)的一維坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，如上圖所示，點(diǎn)(P_0)類(lèi)似于數(shù)軸中的原點(diǎn)，那么點(diǎn)(P_1)是數(shù)軸右方的第一個(gè)單位點(diǎn)，點(diǎn)(P_2)是數(shù)軸右方的第二個(gè)單位點(diǎn)，故(|P_0P_1|)的長(zhǎng)應(yīng)該是一個(gè)單位。故利用一維坐標(biāo)肯定比二維坐標(biāo)計(jì)算量要小。

問(wèn)題2：為什么必須將直線(xiàn)的參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式？

預(yù)備知識(shí)：在平面直角坐標(biāo)系(xoy)中，直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array}ight.)((t)為參數(shù))，

如上圖所示，當(dāng)(t_0=0)時(shí)，對(duì)應(yīng)上圖中的點(diǎn)(A(2,1))，當(dāng)(t_1=1)時(shí)，對(duì)應(yīng)上圖中的點(diǎn)(B(3,3))，

此時(shí)(|AB|=sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=sqrt{5})；其長(zhǎng)度不是一個(gè)單位長(zhǎng)，故其不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，

在教學(xué)實(shí)踐中，我們常用參數(shù)(t)前面的兩個(gè)系數(shù)的平方和是否等于(1)來(lái)判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)形式；

如上，(1^2+2^2=5
eq 1)，故上述的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式。

如果直線(xiàn)的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，則其參數(shù)(t)的幾何意義就不是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的有向線(xiàn)段的數(shù)量，類(lèi)似于我們不用標(biāo)準(zhǔn)的米尺測(cè)量人的身高，則測(cè)量的身高數(shù)據(jù)一定是不準(zhǔn)確的；故使用前必須保證其為標(biāo)準(zhǔn)形式；

那么，如何將參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式呢，請(qǐng)參照下述例題中的具體解法來(lái)體會(huì)。

非標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式的思路

(egin{cases}x=x_0+at=x_0+cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}t \y=y_0+bt=y_0+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}tend{cases}(t為參數(shù)))，

再令(sqrt{a^2+b^2}t=m)，則得到(egin{cases}x=x_0+cos heta m\y=y_0+sin heta mend{cases}(m為參數(shù)))，這才是標(biāo)準(zhǔn)形式；

此時(shí)的參數(shù)(m)的幾何意義才是定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的有向線(xiàn)段的數(shù)量。

案例分析

例1【2019屆鳳中高三理科月考1第22題】在平面直角坐標(biāo)系(xoy)中，直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array}ight.)((t)為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以(x)軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，(odot C)的極坐標(biāo)方程為(ho^2)(-4hocdotsin heta-12=0)，

(1)、 求(odot C)的參數(shù)方程；

分析：將(ho^2=x^2+y^2)，(y=hocdot sin heta)，代入(odot C)的極坐標(biāo)方程(ho^2-4ho sin heta-12=0)，

得到(odot C)的直角坐標(biāo)方程為(x^2+y^2-4y-12=0)，即(x^2+(y-2)^2=16=4^2)，

故(odot C)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=4cos heta}\{y=2+4sin heta}end{array}ight.) (( heta)為參數(shù)，( hetain [0，2pi)))。

(2)、求直線(xiàn)(l)被(odot C)截得的弦長(zhǎng)。

【法1】幾何方法，利用(RtDelta)求解，將直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程消參，得到其普通方程為(2x-y-3=0)，

則圓心((0，2))到直線(xiàn)的距離為(d=cfrac{|-2-3|}{sqrt{2^2+1^2}}=sqrt{5})，

則直線(xiàn)(l)被(odot C)截得的弦長(zhǎng)為(2sqrt{r^2-d^2}=2sqrt{4^2-(sqrt{5})^2}=2sqrt{11})。

【法2】弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)為(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2))，

聯(lián)立得到方程組，(left{egin{array}{l}{2x-y-3=0}\{x^2+y^2-4y-12=0}end{array}ight.)

消去(y)得到，(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0)，整理得到，(5x^2-20x+9=0)，

由韋達(dá)定理得到，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=cfrac{9}{5})，

由弦長(zhǎng)公式得到，(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)(=sqrt{1+2^2}sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})

(=sqrt{5}sqrt{16-cfrac{36}{5}}=2sqrt{11})。

【法3】利用直線(xiàn)的參數(shù)方程求解，需要先判斷參數(shù)方程是否為標(biāo)準(zhǔn)形式；若不是，還需要轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程為(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array}ight.(t為參數(shù)))，

(此時(shí)千萬(wàn)要注意，弦長(zhǎng)(|AB|
eq |t_1-t_2|)，原因是這個(gè)參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的)

將其做如下的轉(zhuǎn)化，

(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}end{array}ight.(t為參數(shù)))，

令(sqrt{5}t=m)，則其參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot m}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot m}end{array}ight.(m為參數(shù)))，

[此時(shí)參數(shù)(m)的幾何意義才是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的數(shù)量，千萬(wàn)要注意，即弦長(zhǎng)(|AB|=|m_1-m_2|)]

將直線(xiàn)(l)的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入圓的普通方程得到，

((2+cfrac{1}{sqrt{5}}m)^2+(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)^2-4(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)-12=0)

整理為(m^2-11=0)，令直線(xiàn)和圓的兩個(gè)交點(diǎn)(A，B)分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(m_1，m_2)，

則(m_1+m_2=0)，(m_1m_2=-11)，

此時(shí)弦長(zhǎng)(|AB|=|m_1-m_2|=sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=sqrt{4 imes 11}=2sqrt{11})。

解后反思：

非標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式的思路

(egin{cases}x=x_0+at=x_0+cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}t \y=y_0+bt=y_0+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}tend{cases}(t為參數(shù)))，

再令(sqrt{a^2+b^2}t=m)，則得到(egin{cases}x=x_0+cos heta m\y=y_0+sin heta mend{cases}(m為參數(shù)))，這才是標(biāo)準(zhǔn)形式；

此時(shí)的參數(shù)(m)的幾何意義才是定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的有向線(xiàn)段的數(shù)量。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的直线参数方程何时必须化为标准形式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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