酉矩阵
將學習到什么
這一節(jié)介紹一類非常特殊且非常重要的矩陣，酉矩陣。并簡單介紹了一些性質。
入門知識
先給定義
可以看到，如果把矩陣定義域限定在實數(shù)域，酉矩陣就叫實正交矩陣啦。這只是“官方定義”，它還有很多等價說法，列出來
??證明：(a)~(f) 都沒什么好說的，說一下最后一個 (g). 如果說 (U) 是酉矩陣，令 (y=Ux)，那么 (y^*y=x^*U^*Ux=x^*Ix=x^*x), 即 (lVert x Vert_2=lVert UxVert_2). 反過來，我們設 (U^*U=A=[a_{ij}]),取 (x=z+w)，其中 (z,w in mathbb{C}^n), 則 (x^*x=z^*z+w^*w+2mathrm{Re}\, z^*w), 且 (y^*y=x^*Ax=z^*Az+w^*Aw+ 2 mathrm{Re}\,z^*Aw). 由 (lVert x Vert_2=lVert UxVert_2) 可知 (z^*z=z^*Az) 以及 (w^*w=w^*Aw), 從而對任意的 (z) 與 (w) 有 (mathrm{Re}\,z^*w=mathrm{Re}\,z^*Aw). 取 (z=e_p) 以及 (w=mathrm{i} e_q), 并計算 (mathrm{Re}\,mathrm{i}e_p^Te_q=0=mathrm{Re}\, mathrm{i}e_p^TAe_q=mathrm{Re}\,mathrm{i}a_{pq}=-mathrm{im}\,a_{pq}), 即虛部全為零，則 (A) 的每個元素都是實的。再取 (z=e_p) 以及 (w=e_q), 計算 (e_p^Te_q=mathrm{Re}\,e_p^Te_q=mathrm{Re}\,e_p^TAe_q=a_{pq}), 這告訴我們有 (A=I), 則證明了 (U) 是酉矩陣。
上個定理中的 (g) 中的條件有個定義
那么就是說，復方陣 (Uin M_n) 是 Euclid 等距的，當且僅當它是酉矩陣。下面給出一個簡單結論
??證明：((UV)^*(UV)=V^*U^*UV=V^*V=I), 所以 (UV) 是酉矩陣。
可見酉矩陣相乘還是酉矩陣。其實酉矩陣的集合構成一個群。這個群稱為 (n imes n) 酉群，對應實數(shù)域中的實正交群。群是對單獨一個滿足結合律的二元運算封閉的集合，且在此集合中含有該運算的恒等元以及逆元，對酉矩陣來說，其相乘仍是酉矩陣，所以對乘法運算封閉，乘法顯然是可結合的，酉群的恒等元是 (I), 其逆元仍是酉矩陣，即 (U^{-1}=U^*).
深入一點
酉矩陣 (Uin M_n) 的每一列或者每一行的 Euclid 范數(shù)都是 1，因而 (U=[u_{ij}]) 中沒有任何元素有絕對值大于 1. 如果我們把酉群看作是 (mathbb{C}^{n^2}) 的一個子集，這就是說是它的一個子集；如果 (U_k=[u_{ij}^{(k)}]) 是酉矩陣組成的一個無限序列（(k=1,2,cdots)）, 使得對所有 (i,j=1,2,cdots,n) 都有 (limlimits_{kightarrow infty}u_{ij}^k=u_{ij}), 那么由恒等式 (U_k^*U_k=I, k=1,2,cdots) ，我們就看出 (limlimits_{kightarrow infty}U_k^*U_k=U^*U=I), 其中 (U=[u_{ij}]). 于是，極限矩陣 (U) 也是酉矩陣. 也就是說，酉矩陣的集合是 (mathbb{C}^{n^2}) 的封閉子集. 學過泛函的都知道有限維的有界閉集是一個緊集，所以我們可以說(M_n) 中酉群是緊的. 由這個結論可推出關于酉矩陣的選擇原理.
??證明：緊集中必存在收斂的無限子序列于自身的某個元素。
上面引理告訴我們如果酉矩陣的序列收斂于某個矩陣，那么極限矩陣必定是酉矩陣。但是要注意引理確保存在的酉極限未必是唯一的，它有可能與子序列的選擇有關。比如酉矩陣序列 (U_k=egin{bmatrix} 0&1 \ 1&0 end{bmatrix}^k \,\,(k=1,2,cdots)) 其奇數(shù)序列收斂于酉矩陣 (egin{bmatrix} 0&1 \ 1&0 end{bmatrix}), 偶數(shù)序列收斂于酉矩陣 (egin{bmatrix} 1&0 \ 0&1 end{bmatrix}).
對于酉矩陣 (U)，(U^{-1}=U^*). 推廣酉矩陣的一種方式是要求 (U^{-1}) 與 (U^*) 相似。這樣的矩陣組成的集合容易刻畫成映射 (Aightarrow A^{-1}A^*) 的值域（對所有非奇異的 (Ain M_n)）.
??證明： 如果對某個非奇異的 (Bin M_n) 有 (A=B^{-1}B^*), 那么 (A^{-1}=(B^*)^{-1}B), 且 (B^*A^{-1}(B^*)^{-1}=B(B^*)^{-1}=(B^{-1}B^*)^*=A^*). 反過來，如果 (A^{-1}) 與 (A^*) 相似，那么就存在一個非奇異的 $Sin M_n $, 使得 (SA^{-1}S^{-1}=A^*), 從而 (S=A^*SA). 令 (S_{ heta}=mathrm{e}^{mathrm{i} heta}S,\,\, heta in mathbb{R}), 則 (S_{ heta}^*=A^*S_{ heta}^*A). 將這兩個恒等式相加給出 (H_{ heta}=A^*H_{ heta}A), 其中 (H_{ heta}=S_{ heta}+S_{ heta}^*) 是 Hermite 的. 如果 (H_{ heta}) 是奇異的，那么就存在一個非零的 (xin mathbb{C}^n), 使得 (0=H_{ heta}x=S_{ heta}x+S_{ heta}^*x), 所以 (-x=S_{ heta}^{-1}S_{ heta}^*x=mathrm{e}^{-2mathrm{i} heta}S^{-1}S^*x), 且 (S^{-1}S^*x=-mathrm{e}^{2mathrm{i} heta}x), 選取一個值 ( heta= heta_0in [0,2pi)), 使得 (-mathrm{e}^{2mathrm{i} heta_0}) 不是 (S^{-1}S^*) 的特征值；所產(chǎn)生的 Hermite 矩陣 (H=H_{ heta_0}) 就是非奇異的，且有性質 (H=A^*HA). 現(xiàn)在選取任意一個復的 (alpha), 使得 $vert alpha vert=1 $, 且 (alpha) 不是 (A^*) 的特征值. 令 (B=eta(alpha I-A^*)H), 其中復參數(shù) (eta
eq 0) 有待選取，注意 (B) 是非奇異的，我們希望有 (A=B^{-1}B^*), 即 (BA=B^*). 計算 (B^*=H(ar{eta}ar{alpha}I-ar{eta}A)) 以及 (BA=eta(alpha I-A^*)HA=eta(alpha HA-A^*HA)eta(alpha HA-H)=H(alpha eta A-eta I)). 如果我們能選取一個非零的 (eta), 使得 (eta=-ar{eta}ar{alpha}), 我們就完成了，但是如果 (alpha=mathrm{e}^{mathrm{i}psi}), 那么就有 (eta=mathrm{e}^{mathrm{i}(pi-psi)/2}), 證明完成。
如果酉矩陣作為 (2 imes 2) 分塊矩陣出現(xiàn)，那么它落在對角線之外的那些塊的秩相等，它的對角線塊的秩通過一個簡單的公式相聯(lián)系。
??證明： 對于酉矩陣 (U)，有 (U^{-1}=egin{bmatrix}
U_{11}^* &U_{21}^* \ U_{12}^* &U_{22}^* end{bmatrix}). 由零性互補法則 可得，(mathrm{rank}\,U_{12}=mathrm{rank}\,U_{21}^*=mathrm{rank}\,U_{21}), (mathrm{rank}\,U_{11}=mathrm{rank}\,U_{22}^*+2k-n=mathrm{rank}\,U_{22}+2k-n), 即可得。(mathrm{rank}\,U_{12}=mathrm{rank}\,U_{21}^*=mathrm{rank}\,U_{21}=), 故 (U_{12}=0) 當且僅當 (U_{21}=0). 按塊矩陣的乘法可知此時 (U_{11}) 與 (U_{22}) 為 酉矩陣.
由以上引理知，如果一個酉矩陣是上三角或者是下三角陣，則它必是對角陣。
應該知道點什么
復方陣 (Uin M_n) 是 Euclid 等距的，當且僅當它是酉矩陣
其實酉矩陣的集合構成一個群，且是緊的
上個引理中塊酉矩陣中秩的關系
一個酉矩陣是上三角或者是下三角陣，則它必是對角陣
總結
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