BZOJ 1010 玩具裝箱Toy

題目描述 Description
P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，于是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號為1…N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮后變成一維長度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那么兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那么容器的長度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度為x,其制作費用為(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以制作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.

輸入描述 Input Description
第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci

輸出描述 Output Description
輸出最小費用

樣例輸入 Sample Input
5 4
3
2
1
4

樣例輸出 Sample Output
1

數據范圍及提示 Data Size & Hint
1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

分析：

狀態轉移方程：（顯然）

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]?sum[j]+i?j?1?L)2)dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]?sum[j]+i?j?1?L)2)

sumsum為前綴和
然后我們令f[i]=sum[i]+i,c=1+Lf[i]=sum[i]+i,c=1+L
原式可以化簡為：

dp[i]=min(dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2)dp[i]=min(dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2)

注意，這里的f,cf,c都是可以預處理出來的

1.證明決策單調性

假設在當前由jj狀態轉移優于kk狀態（顯然kk是之前枚舉的決策），即：

dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]?f[j]?c)2dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]?f[j]?c)2

那么對于ii后面的一個狀態tt，要保證kk對其無貢獻（已經被jj覆蓋）
則需要證明：

dp[j]+(f[t]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[t]?f[k]?c)2dp[j]+(f[t]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[t]?f[k]?c)2

由于f[i]=sum[i]+if[i]=sum[i]+i，所以一定為單調遞增的（sumsum和ii均為單調遞增）
所以令v=f[t]?f[i]v=f[t]?f[i]
原式可化為：

dp[j]+(f[i]+v?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]+v?f[k]?c)2dp[j]+(f[i]+v?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]+v?f[k]?c)2

變形↓盡量拆出已有的式子

dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2+2v?(f[i]?f[j]?c)+4v2≤dp[k]+(f[i]?f[k]?c)2+2v?(f[i]?f[k]?c)+4v2dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2+2v?(f[i]?f[j]?c)+4v2≤dp[k]+(f[i]?f[k]?c)2+2v?(f[i]?f[k]?c)+4v2

移項，消除相同項

f[i]?f[j]?c≤f[i]?f[k]?cf[i]?f[j]?c≤f[i]?f[k]?c

f[j]≥f[k]f[j]≥f[k]

由單調遞增性，只需要枚舉狀態時以11~i?1i?1的順序即可保證f[j]≥f[k]f[j]≥f[k]，得證

2.求斜率方程

當前決策ii，若由jj狀態轉移優于kk狀態，則有：

dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]?f[j]?c)2dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]?f[j]?c)2

展開，變形，得：

dp[j]+f[i]2?2f[i]?(f[j]+c)+(f[j]+c)2≤dp[k]+f[i]2?2f[i]?(f[k]+c)+(f[k]+c)2dp[j]+f[i]2?2f[i]?(f[j]+c)+(f[j]+c)2≤dp[k]+f[i]2?2f[i]?(f[k]+c)+(f[k]+c)2

移項，消除相同項，盡量將變量按j,kj,k湊在一起，得：

(dp[j]+(f[j]+c)2)?(dp[k]+(f[k]+c)2)2?(f[j]?f[k])≤f[i](dp[j]+(f[j]+c)2)?(dp[k]+(f[k]+c)2)2?(f[j]?f[k])≤f[i]

左邊部分就像斜率一樣，可以看做：

Yj?YkXj?XkYj?YkXj?Xk

我們以Slope(x,y)Slope(x,y)來表示上面那個類似于斜率的東西（其實就是斜率好么）
若滿足這個Slope(k,j)≤f[i]Slope(k,j)≤f[i]，則說明jj比kk優

3.組織算法

那么對于當前較優的狀態我們建立一個隊列qq
維護這個隊列我們有以下操作：

若Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]，則q[l]q[l]沒有q[l+1]q[l+1]優，則刪除q[l]q[l]
若Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i)Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i),則刪除q[r]q[r]

分析：

方程成立時是jj比kk優的充分必要條件，那么假設我們現在有一個序列，那么隊頭就是當前最優的，若到了某個ii值使得對于隊首p[l]p[l]和隊次首p[l+1]p[l+1]來說Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]成立，則q[l+1]q[l+1]比q[l]q[l]優，所以彈出隊首，直到不成立為止

第一條操作是顯然的，那么第二條呢？
一個狀態要不要放在序列里，是由它能不能做出貢獻決定的，也就是說，它能不能成為隊首決定的
假設我們現在有Slope(q[a],q[a+1])≥Slope(q[a+1],q[a+2])Slope(q[a],q[a+1])≥Slope(q[a+1],q[a+2])，那么，q[a+1]q[a+1]點想要成為隊首就只能當前面的點都彈出了，并且Slope(q[a],q[a+1])≤f[i]Slope(q[a],q[a+1])≤f[i]，q[a+1]q[a+1]比q[a]q[a]優所以也將q[a]q[a]彈出時，才能成為隊首。但是在這時，由于f[i]≥Slope(q[a],q[a+1])≥Slope(q[a+1],q[a+2])f[i]≥Slope(q[a],q[a+1])≥Slope(q[a+1],q[a+2])，那么q[a+2]q[a+2]也應該比q[a+1]q[a+1]優，所以將q[a+1]q[a+1]彈出，意思就是，無論怎樣，q[a+1]q[a+1]都不可能做出貢獻
類比一下，我們只操作隊尾時，若其斜率Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i)Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i)，直接彈出q[r]q[r]即可
那么，在我們的這個操作以后，能夠保證斜率單調遞增，也就是維護一個上凸包，這就是斜率優化啦！

自認為非常的詳細啦，有問題可以在下面留言嘍！

Code：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 ll n,L;
 5 ll f[50005];
 6 ll dp[50005];
 7 ll q[50005];
 8 ll head,tail; 
 9 ll read() {
10     ll ans=0,flag=1;
11     char ch=getchar();
12     while((ch<'0'||ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
13     if(ch=='-') flag=-1,ch=getchar();
14     while(ch>='0' && ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
15     return ans*flag;
16 }
17 double slope(ll k,ll j) {return (double) (dp[j]-dp[k]+(f[j]+L)*(f[j]+L)-(f[k]+L)*(f[k]+L))/(2.0*(f[j]-f[k]));}
18 int main() {
19     n=read(),L=read();
20     L++;
21     for(int i=1;i<=n;i++) {
22         ll a=read();
23         f[i]=f[i-1]+a+1;
24     }
25     for(int i=1;i<=n;i++) {
26         while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])<=f[i]) head++;
27         int t=q[head];
28         dp[i]=dp[t]+(f[i]-f[t]-L)*(f[i]-f[t]-L);
29         while(head<tail && slope(q[tail],i)<slope(q[tail-1],q[tail])) tail--;
30         q[++tail]=i;
31     } 
32     printf("%lld",dp[n]);
33 }

--------------------- 本文來自 Chlience 的CSDN 博客 ，全文地址請點擊：https://blog.csdn.net/force_chl/article/details/79096609?utm_source=copy

總結：

斜率優化步驟：

先打表（推導）得出決策單調性的性質，然后列出當前j比k優的式子：dp[j]+(f[i]?f[j]?c)2≤dp[k]+(f[i]?f[j]?c)2

然后移項變換盡量得到左邊為j,k表示的斜率，右邊為1定值：(dp[j]+(f[j]+c)2)?(dp[k]+(f[k]+c)2)2?(f[j]?f[k])≤f[i]

若滿足這個Slope(k,j)≤f[i]Slope(k,j)≤f[i]，則說明jj比kk優

最后單調隊列:

若Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]Slope(q[l],q[l+1])≤f[i]，則q[l]q[l]沒有q[l+1]q[l+1]優，則刪除q[l]q[l]
若Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i)Slope(q[r?1],q[r])≥Slope(q[r],i),則刪除q[r]

10.9更新：

這里有一篇更好的斜率優化....

https://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/55684519（良心博客）
其實考場上自己模擬推一遍比較合適，這里給出單增的通式：

斜率越大的編號是靠后的，單增性，所以k1<k3，變個號就行了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化（转载）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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