1 概率是什么

概率是表示某種情況（事件）出現(xiàn)的可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo)，它介于0與1之間。

1.1 主觀概率

憑著經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)對(duì)事件發(fā)生的可能性作出的一種主觀估計(jì)，主觀概率可以理解為一種心態(tài)或傾向性。

這里的某種事件后面即定義為隨機(jī)事件，所謂“隨機(jī)事件”，即它的結(jié)果具有偶然性。

1.2 古典概率的定義

假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果$e_1,e_2,dots,e_N$。假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果，例如$e_i$，比任一其他結(jié)果，例如$e_j$，更具有優(yōu)勢(shì)（即更傾向于易發(fā)生），則我們只好認(rèn)為，所有結(jié)果$e_1,e_2,dots,e_N$在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即$1/N$的出現(xiàn)機(jī)會(huì)。常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱(chēng)為“等可能的”。

設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有$N$個(gè)等可能的結(jié)果，而事件$E$恰包含中的$M$個(gè)結(jié)果，則事件$E$的概率，記為$P(E)$，定義為：

$$P(E)=M/N$$

上面的古典定義它只能用于全部試驗(yàn)結(jié)果為有限個(gè)，且等可能性成立的情況，某些情況下，這個(gè)概念可以引申到試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限多的情況。

古典概率的核心實(shí)際上就是"數(shù)數(shù)"，首先數(shù)樣本空間中基本事件的個(gè)數(shù)$N$，再數(shù)事件$A$包含的基本事件個(gè)數(shù)$M$

1.3 幾何概率

甲、乙二人約定1點(diǎn)到2點(diǎn)之間在某處碰頭，約定先到者等候10分鐘即離去。設(shè)想甲、乙二人各自隨意地在1-2點(diǎn)之間選一個(gè)時(shí)刻到達(dá)該處，問(wèn)“甲乙二人能碰上”這事件$E$的概率是多少？

如果我們以一個(gè)坐標(biāo)系來(lái)代表所有事件發(fā)生的平面，則$x$軸代表甲出發(fā)的時(shí)刻，$y$軸代表乙出發(fā)的時(shí)刻，如果甲乙能碰上則必須滿足：

$$|x-y|<10$$

可以計(jì)算在坐標(biāo)軸平面上，滿足上面不等式的區(qū)域的面積。

幾何概率的基本思想是把事件與幾何區(qū)域?qū)?yīng)，利用幾何區(qū)域的度量來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率。

1.4 概率的頻率定義方法

1）與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)像可大量重復(fù)進(jìn)行

2）在$n$次重復(fù)試驗(yàn)中，記$n(A)$為事件$A$出現(xiàn)的次數(shù)，又稱(chēng)$n(A)$為事件$A$的頻數(shù)。稱(chēng)$f_n(A)=frac{n(A)}{n}$為事件$A$出現(xiàn)的頻率。

3）人們的長(zhǎng)期實(shí)踐表明：隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)$n$的增加，頻率$f_n(A)$會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù)$a$附近，我們稱(chēng)這個(gè)常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是我們所求的概率。

2 古典概率的計(jì)算

2.1 兩個(gè)原理

1）乘法原理

如果某件事需經(jīng)過(guò)$k$個(gè)步驟才能完成，做第一步有$m_1$種方法，做第二步有$m_2$種方法……做第$k$步有$m_k$種方法，那么完成這件事共有$m_1 imes m_2 imesdots imes m_k$種方法。

2）加法原理

如果某件事可由$k$類(lèi)不同途徑之一去完成，在第一類(lèi)途徑中有$m_1$種完成的方法，在第二類(lèi)途徑中有$m_2$種完成的方法……在第$k$類(lèi)途徑中有$m_k$種完成的方法，那么完成這件事共有$m_1+m_2+dots+m_k$種方法。

2.2 排列與組合

按照古典概率公式的定義，古典概率的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算兩個(gè)數(shù)$M$和$N$。這種計(jì)算大多數(shù)涉及排列組合。二者的區(qū)別在于，排列要計(jì)較次序而組合不計(jì)較：ab和ba是不同的排列，但是是相同的組合。

排列：$n$個(gè)相異物件取$r$個(gè)($1le r le n$)的不同排列總數(shù)為

$$P_{r}^{n}=n(n-1)(n-2)dots (n-r+1)$$

特別地，當(dāng)$n=r$時(shí)，得到$P_{r}^{r}=r(r-1)dots 1=r!$，稱(chēng)為$r$的一個(gè)全排列。

組合：$n$個(gè)相異物件取$r$個(gè)($1le r le n$)的不同組合總數(shù)為

$$C_r^n=P_r^n/r!=n!/(r!(n-r)!)$$

有些書(shū)中把記號(hào)$C_r^n$寫(xiě)為$C_n^r$。$C_r^n$的一個(gè)更通用的記號(hào)是$egin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}$。我們后面將用$egin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}$取代$C_r^n$。我們很容易推導(dǎo)出$egin{pmatrix}n\0\ end{pmatrix}=1$且有，

$$egin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}=n(n-1)dots (n-r+1)/r!$$

2.3 與二項(xiàng)式展開(kāi)的關(guān)系

組合系數(shù)$egin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}$又常稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面熟知的二項(xiàng)式展開(kāi)的公式中：

$$(a+b)^n=sum_{i=0}^negin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}a^ib^{n-i}$$

這面這個(gè)公式的證明很簡(jiǎn)單：因?yàn)椋?(a+b)^n=(a+b)(a+b)dots(a+b)$.為了產(chǎn)生$a^ib^{n-i}$這一項(xiàng)，在這$n$個(gè)$(a+b)$中，要從其中的$i$個(gè)取出$a$，另$n-i$個(gè)取出$b$。從$n$個(gè)中取出$i$個(gè)的不同取法為$egin{pmatrix}n\r\ end{pmatrix}$，這也就是$a^ib^{n-i}$這一項(xiàng)的系數(shù)。

2.4 分堆問(wèn)題

$n$個(gè)相異物件分成$k$堆，各堆物體數(shù)分別為$r_1,r_2,dots,r_k$的分法是

$$frac{n!}{r_1!dots r_k!}$$

此處$r_1,r_2,dots,r_k$都是非負(fù)整數(shù)，其和為$n$

舉個(gè)例子：共有n雙各異的鞋子一共2n只，把它們隨機(jī)分為n堆，每堆2只，求恰好每堆鞋子組成一雙的概率：

先求所有可能的分法，按上面的公式，可以得出一共有$(2n)!/2^n$種分法，而如果把每一雙鞋子看成一個(gè)物體，則n個(gè)物體的全排列為n!種，所以最終的概率為$frac{2^nn!}{(2n)!}$

古典概率的計(jì)算基本都涉及到排列組合問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題可能情況很復(fù)雜，設(shè)計(jì)的很難，所以不用花太多時(shí)間在古典概率的計(jì)算上。

3 事件的運(yùn)算

3.1 事件的蘊(yùn)含、包含及相等

在同一試驗(yàn)下的兩事件$A$和$B$，如果當(dāng)$A$發(fā)生時(shí)$B$必發(fā)生，則稱(chēng)$A$蘊(yùn)含$B$，或者說(shuō)$B$包含$A$，記為$Asubset B$。若$A,B$互相蘊(yùn)含，即$Asubset B$且$Bsubset A$，則稱(chēng)$A,B$兩事件相等，記為$A=B$。

如下圖中所示，方框如果是一個(gè)靶，則如果擊中了A，則一定擊中了B。A和B相比A更難發(fā)生一些，因而其概率就必然小于至多等于B的概率。

3.2 事件的互斥和對(duì)立

若兩件事A和B不能在同一次試驗(yàn)中都發(fā)生（但可以都不發(fā)生），則稱(chēng)它們是互斥的。如果一些事件中任意兩個(gè)都互斥，則稱(chēng)這些事件是兩兩互斥的，或簡(jiǎn)稱(chēng)互斥的。

任何一個(gè)樣本空間，它的基本事件之間都是彼此互斥的。值得注意的事，互斥事件一定是在同一個(gè)試驗(yàn)下的，可能出現(xiàn)的不同的結(jié)果。這兩個(gè)事件是對(duì)這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果不同可能性的描述。

如擲一個(gè)骰子時(shí)，擲出1點(diǎn)和擲出2點(diǎn)這兩個(gè)事件就是互斥的，它兩不可能同時(shí)發(fā)生，但可以都不發(fā)生。

互斥事件一個(gè)重要的情況是“對(duì)立事件”，若A為一事件，則事件$B={A不發(fā)生}$稱(chēng)為A的對(duì)立事件，多記為$ar{A}$（也記為$A_c$）。

如擲一個(gè)骰子時(shí)，擲出是奇數(shù)點(diǎn)與擲出是偶數(shù)點(diǎn)就是對(duì)立事件。

這里注意區(qū)分對(duì)立事件與互斥事件！

3.3 事件的和

設(shè)有兩事件A，B，定義一個(gè)新事件C如下：

$C={A發(fā)生，或B發(fā)生}={A,B至少發(fā)生一個(gè)}$

這樣定義的事件C稱(chēng)為A與事件B的和，記為$C=A+B$。

推廣到多個(gè)事件的情形，設(shè)有若干個(gè)事件$A_1,A_2,dots,A_n$。它們的和A，定義為事件

$A={A_1發(fā)生，或A_2發(fā)生，dots，或A_n發(fā)生}={A_1,A_2,dots,A_n至少發(fā)生一個(gè)}$

3.4 概率的加法定理

公理

若干個(gè)互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和：

$$P(A_1+A_2+dots)=P(A_1)+P(A_2)+dots$$

推論

以$ar{A}$表示A的對(duì)立事件，則

$$P(ar{A})=1-P(A)$$

3.5 事件的積、事件的差

設(shè)有兩件事A，B，則如下定義的事件C

$$C=left{A,B都發(fā)生ight}$$

多個(gè)事件$A_1,A_2,dots$（有限或無(wú)限個(gè)都可以）的積的定義類(lèi)似：$A={A_1,A_2,dots都發(fā)生}$，記為$A=A_1A_2dots$，或$prod_{i=1}^{n}A_i$

兩個(gè)事件A,B之差，記為$A-B$，定義為：

$$A-B={A發(fā)生，B不發(fā)生}=Aar{B}$$

4 條件概率與獨(dú)立性

4.1 條件概率的定義

設(shè)有兩事件A,B而$P(B)
e 0$。則“在給定B發(fā)生的條件下A的條件概率”，記為$P(A|B)$，定義為

$$P(A|B)=P(AB)/P(B)$$

思考：有三張牌，第一張牌兩面都是一個(gè)實(shí)心點(diǎn)，第二張牌一面為一實(shí)心點(diǎn)，一面為一空心點(diǎn)；第三張牌兩面都是空心點(diǎn)。現(xiàn)在隨機(jī)從3張中抽一張牌，而且它的一面是實(shí)心點(diǎn)，那么這張牌另一面也是實(shí)心點(diǎn)的概率是多少？

4.2 事件的獨(dú)立性，概率乘法定理

設(shè)有兩事件$A,B$，$A$的無(wú)條件概率$P(A)$與其在給定$B$發(fā)生之下的條件概率$P(A|B)$，一般是有差異的。這反映了這兩事件之間存在著一些關(guān)聯(lián)。例如，若$P(A|B)>P(A)$，則B的發(fā)生使A發(fā)生的可能性增大了：B促進(jìn)了A的發(fā)生。

反之，若$P(A|B)=P(A)$，則B的發(fā)生與否對(duì)A發(fā)生可能性毫無(wú)影響。這時(shí)在概率論上就稱(chēng)A，B兩事件獨(dú)立。我們很容易得到

$$P(AB)=P(A)P(B)$$

對(duì)于滿足上面公式的兩件事件A，B，稱(chēng)A，B獨(dú)立。上面的公式也即為概率的乘法定理。

判斷事件是相互獨(dú)立，有時(shí)并不是通過(guò)上面的公式去判定。

假設(shè)擲3個(gè)骰子，定義下面兩個(gè)事件A和Ｂ。A＝{至少有一個(gè)骰子擲出１}，事件B＝｛三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)中至少有兩個(gè)一樣｝，問(wèn)A，B是否獨(dú)立？

初看往往會(huì)覺(jué)得A與B獨(dú)立，因?yàn)橐粋€(gè)關(guān)心的是擲出的點(diǎn)數(shù)，另一個(gè)是擲出的同樣性（不關(guān)心點(diǎn)數(shù)是多少）。也就是有沒(méi)有擲出1好像對(duì)事件B沒(méi)有利也沒(méi)有害。

換一個(gè)角度，考慮A的對(duì)立事件，即沒(méi)有一個(gè)骰子擲出1，說(shuō)明三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為{2,3,4,5,6}那么，事件B中，每個(gè)骰子最多只有5個(gè)結(jié)果了，相比原來(lái)少了一種可能性，那么顯然B事件發(fā)生最終的概率也變了。

若干個(gè)獨(dú)立事件$A_1,A_2,dots$為有限或無(wú)限個(gè)事件。如果從其中任意取出有限個(gè)$A_{i_1},A_{i_2},dots,A_{i_m}$都成立

$$ P(A_{i_1} A_{i_2}dots A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})dots P(A_{i_m})$$

則稱(chēng)事件$A_1,A_2,dots$相互獨(dú)立。也就是說(shuō)，對(duì)一任意一件事A，其他事件的發(fā)生與否對(duì)事件A的發(fā)生沒(méi)有影響。

若干個(gè)獨(dú)立事件$A_1,dots,A_n$之積的概率，等于各事件概率的乘積：

$$P(A_1dots A_n)=P(A_1)dots P(A_n)$$

乘法定理的作用與加法定理一樣：把復(fù)雜事件的概率的計(jì)算歸結(jié)為更簡(jiǎn)單的事件概率的計(jì)算，這當(dāng)然要有條件，相加是互斥，相乘是獨(dú)立。

4.3 全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式

設(shè)$B_1,B_2,dots$為有限個(gè)或無(wú)限個(gè)事件，它們兩兩互斥且在每次實(shí)驗(yàn)中至少發(fā)生一個(gè)，用式表示之，即

$$B_iB_j=varnothing（不可能事件），當(dāng)i
e j \ B_1+B_2+dots=Omega（必然事件）$$

有時(shí)把具有這些性質(zhì)的一組事件稱(chēng)為一個(gè)“完備事件群”。注意，任一事件B及其對(duì)立事件組成一個(gè)完備事件群。

現(xiàn)在考慮任一事件A，因?yàn)?Omega$為必須事件，有$A=AOmega=AB_1+AB_2+dots$。因?yàn)?B_1B_2,dots$兩兩互斥，顯然$AB_1,AB_2,dots$也兩兩互斥。根據(jù)加法定理有

$$P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+dots$$

再由條件概率的定義，有$P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i)$，代入上式得

$$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+dots$$

上面的公式即為全概率公式。

實(shí)用意義：在較復(fù)雜的情況下直接算$P(A)$不易，但A總是隨著某個(gè)$B_i$伴出，適當(dāng)去構(gòu)造這一組$B_i$往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

我們可以把$P(B_i)$看成權(quán)重，則全概率公式則為條件概率的加權(quán)。

貝葉斯公式

在全概率公式的假定之下，有

$$P(B_i|A)=P(AB_i)/P(A)=frac{P(B_i)P(A|B_i)}{sum_jP(B_j)P(A|B_j)}$$

上面就是著名的貝葉斯公式。

意義：先看$P(B_1),P(B_2),dots$，它是沒(méi)有進(jìn)一步的信息（不知事件A是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)事件$B_1,B_2,dots$發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對(duì)$B_1,B_2,dots$發(fā)生可能性大小有了新的估價(jià)。

如果我們把事件A看成“結(jié)果”，把諸事件$B_1,B_2,dots$看成導(dǎo)致這結(jié)果的可能的“原因”，則可以形象地把全概率公式看作為“由原因推廣結(jié)果”；而貝葉斯公式則恰好相反，其作用在于“由結(jié)果推原因”：現(xiàn)在有一個(gè)“結(jié)果A已發(fā)生了”，在眾多可能的原因中，到底哪一個(gè)導(dǎo)致了這結(jié)果？貝葉斯公式說(shuō)，各原因可能性大小與$P(B_i|A)$成比例。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率的基本概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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