前言

極值與最值是很不容易弄清楚的兩個概念。

相關概念

極值是在函數的定義域內的某一個自變量的取值(x_0)的小鄰域[定義域的某個小區間]內，(f(x_0))和這個小鄰域內其他的函數值相比較，他是龍頭老大(或老小)；最值是函數在自己的定義域內的來說，是龍頭老大(或老小)，故極值不會在某個區間的端點處取到，而最值有可能在區間的端點處取到。

說到極值和最值，都是針對函數值(y)而言；說到極值點或者最值點，都是針對函數的自變量(x)而言；且極值點和最值點都不是點，而是實數。

函數的極大值和極小值之間沒有必然聯系，即極大值不一定比極小值大；

對于可導函數(f(x))而言，(x_0)成為函數(f(x))的極值點的必要條件是(f'(x_0)=0)，其充要條件是(f'(x_0)=0)且導函數(f'(x))在(x_0)的兩側的函數值異號，簡單的說，其充要條件是(x_0)是導函數(f'(x))的變號零點。

函數在極值點處不一定可導，比如函數(f(x)=|x|)，(x=0)是其極值點，但函數在(x=0)處不可導。

函數的最大值不一定是極大值，也可能是端點值；函數的最小值不一定是極小值，也可能是端點值；

充要條件

例1在某個區間內，對可導函數(f(x))而言，(f'(x)>0(f'(x)<0))是函數(f(x))在這個區間單調遞增(減)的充分不必要條件。

分析：說明不必要性，比如函數(y=x^3)在((-infty,+infty))上單調遞增，但是卻有(f'(x)ge 0)，故必要性不成立。

例2在某個區間內，對可導函數(f(x))而言，(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))是函數(f(x))在這個區間單調遞增(減)的必要不充分條件。

比如常函數(f(x)=c(c為常數))，滿足(f'(x)ge0)，但是沒有單調性，故充分性不成立；

若函數(f(x))單調遞增，則必有(f'(x)ge 0)，故必要性成立。

例3在某個區間內，對可導函數(f(x))而言，“(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))且在此區間的任意一個子區間內導函數都不恒為零”是函數(f(x))在這個區間單調遞增(減)的充要條件。

說明：①在此區間的任意一個子區間內導函數都不恒為零，就排除了函數為常函數的可能；②已知函數的單調性[如單調遞增]求參數的取值范圍類問題中，如果我們令(f'(x)>0)恒成立，則會漏掉參數的取值，若令(f'(x)geqslant 0)恒成立，則會多出參數的取值，所以最后求得參數的取值范圍后常常需要驗證等號的情形，以防止為常函數。

例4命題(p)為真命題，(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在區間((0，+infty))上單調遞減，求(m)的取值范圍是________。

分析：圖像法，由題目可知，若(p)為真，則(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的單調性)；

導數法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在區間((0，+infty))上單調遞減，則有

(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在區間((0，+infty))上恒成立，

即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，這個結果是錯誤的，

原因是缺少驗證，當(m=cfrac{1}{2})時， 函數(f(x)=0)為常函數，

不符合題意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。

解后反思：本題目利用函數(f(x))的單調性求參數的取值范圍時，既可以利用單調性的性質，也可以利用導數法，但是導數法很容易出錯。

例5在某個區間內，對函數(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)為極值點的既不充分也不必要條件。

分析：比如函數(f(x)=x^3)，在(R)上單調遞增，無極值點，而(f'(x)=3x^2)，(f'(0)=0)，

但是很遺憾(x=0)不是極值點，應該是駐點和拐點，故充分性不成立；

若(x_0)為函數的極值點，也不能推出(f'(x_0)=0)，因為函數的極值點有可能就不可導，

比如函數(f(x)=|x|)，(x=0)是其極值點，但是函數在這一點(尖角點)并不可導。

例6在某個區間內，對可導函數(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)為極值點的必要不充分條件。

說明：此時由于函數是可導函數，就排除了函數在(x_0)處不可導的情形，

故(x_0)為函數的極值點，能推出(f'(x_0)=0)，必要性成立。

例2(2017鄭州模擬)已知函數(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a)在(x=1)處取得極大值(10)，則(cfrac{a})的值為____________.

分析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(egin{cases}f'(1)=0\f(1)=10end{cases})，

得到(egin{cases}3+2a+b=0\1+a+b-a^2-7a=10end{cases})，

解得(egin{cases}a=-2\b=1end{cases})，或(egin{cases}a=-6\b=9end{cases})，

當(a=-2，b=1)時，(f'(x)=(3x-1)(x-1))，

此時(x=1)是導函數(f'(x))的變號零點，但是在(x=1)處取到極小值，不符舍去；

當(a=-6，b=9)時，(f'(x)=3(x-1)(x-3))，

此時(x=1)是導函數(f'(x))的變號零點，且在(x=1)處能取到極大值。

故(cfrac{a}=-cfrac{2}{3})。

反思總結：由方程組解出來的根(x=x_0)，只能說明這一點的函數值是0，并不能說明這一點(x_0)處的左右的函數值的正負，有可能是不變號零點，那么這一點不會成為極值點，也有可能是變號零點，但是左右的正負值不符合。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的极值与最值概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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