卡特蘭數(shù)用于解決一些特定的排列問(wèn)題，一般是求解有多少種排列。

　　Catalan數(shù)的定義：

　　（1）當(dāng)n=1時(shí)，C(1)=1。

　　（2）當(dāng)n>1時(shí)，C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + ... + C(n-1)*C(1)

　　（3）當(dāng)然，還能這樣算：　　

　　（4）更厲害的，是可以這樣算，但可能不精確：　　　　（ps：這些都是經(jīng)過(guò)證明的公式）

　　注：所有的奇卡塔蘭數(shù)（即n為奇數(shù)）C_n都滿足。

　　一般來(lái)說(shuō)，求卡特蘭數(shù)有個(gè)基本問(wèn)題，而其他問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)成這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)基本問(wèn)題是這樣的：一個(gè)n個(gè)bit的二進(jìn)制數(shù)，如果其任意前綴都是1的個(gè)數(shù)>=0的個(gè)數(shù)，求這樣的二進(jìn)制有多少個(gè)？可以根據(jù)catellan數(shù)的性質(zhì)直接求C_n即可。

經(jīng)典題（1）：有n對(duì)括號(hào)，請(qǐng)問(wèn)n對(duì)括號(hào)能組成多少個(gè)合法序列？比如"(())"就是合法。

　　思路：考慮前i個(gè)pre[i]，可以這樣認(rèn)為，其中的左括號(hào)為1，右括號(hào)為0，那么就成功轉(zhuǎn)成了卡特蘭數(shù)的一般問(wèn)題了。這里有個(gè)問(wèn)題，編程之美中提到，f(2*n)=[1/(n+1)]*C(2*n,m)，其實(shí)右式完全等于求C_n，也可以直接按C_n來(lái)求。但是為什么書(shū)里這么寫(xiě)呢？因?yàn)闀?shū)中考慮的是枚舉k為每個(gè)可能與首個(gè)左括號(hào)匹配的右括號(hào)的位置，假如規(guī)定括號(hào)序列的下標(biāo)是從0開(kāi)始的，由于k必須是奇數(shù)位置才合法，所以列出來(lái)的公式為 f(2n)=f(0)*f(2n-2)+f(2)*f(2n-4)+...f(2n-4)*f(2)+f(2n-2)*f(0)，觀察到式子中沒(méi)有出現(xiàn)求奇數(shù)的f，因此直接將0～2n-1中的偶數(shù)映射過(guò)來(lái)就是1～n啦。

經(jīng)典題（2）：12個(gè)高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對(duì)應(yīng)列的第一排的人高,問(wèn)排列方式有多少種?

　　思路：先將12個(gè)人升序排序，下標(biāo)分別為1～n。同樣，用0代表首行，用1代表第二行。那么每個(gè)后綴back[i]中1的個(gè)數(shù)就必須大于等于0的個(gè)數(shù)了，否則肯定存在一個(gè)j>=i，首行[j]>次行[j]，即第一行有個(gè)人比第二行高了，不合法。答案也是求C_n。

經(jīng)典題（3）：將一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的凸多邊形切成多個(gè)三角形的方法有多少種？注意只能某一頂點(diǎn)切往另一頂點(diǎn)。

　　思路：凸多邊形的每條邊必須對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形，那么現(xiàn)在的問(wèn)題只是求這條邊對(duì)應(yīng)的另一個(gè)頂點(diǎn)在哪里。同樣，這個(gè)頂點(diǎn)的位置也是枚舉，那么就將問(wèn)題分成了兩個(gè)小問(wèn)題，其實(shí)就是區(qū)間DP題。答案依然是C_n。

經(jīng)典題（4）：有3個(gè)人要借書(shū)，3個(gè)人要還書(shū)。要使得3個(gè)人都能借到書(shū)，那么這6人進(jìn)館的序列有多少種？

　　思路：將還書(shū)的人看成0，借書(shū)的人看成1。只能在有人還了之后才能有人借得到。那么每個(gè)前綴pre[i]中1的個(gè)數(shù)必須>=0的個(gè)數(shù)，又轉(zhuǎn)成了一般問(wèn)題。

　　同樣的問(wèn)題還有：”合法的入棧出棧序列有多少種？“和”合法的找錢(qián)給錢(qián)序列有多少種“等等。

經(jīng)典題（5）：將一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的凸多邊形切成多個(gè)三角形的方法有多少種？注意只能某一頂點(diǎn)切往另一頂點(diǎn)。

　　思路：凸多邊形的每條邊必須對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形，那么現(xiàn)在的問(wèn)題只是求這條邊對(duì)應(yīng)的另一個(gè)頂點(diǎn)在哪里。同樣，這個(gè)頂點(diǎn)的位置也是枚舉，那么就將問(wèn)題分成了兩個(gè)小問(wèn)題，其實(shí)就是區(qū)間DP題。答案依然是C_n。

經(jīng)典題（6）：一個(gè)n*n的網(wǎng)格，要從左下角的格子走到右上角的格子，在不踏入對(duì)角線的情況下，且第一步必須往右走，有多少種方案到達(dá)終點(diǎn)？

　　思路：要不碰到對(duì)角線，那么往右走的次數(shù)要時(shí)刻多于等于往上走的次數(shù)。又是可以轉(zhuǎn)成一般問(wèn)題。

經(jīng)典題（7）：一個(gè)由n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的二叉樹(shù)，不同構(gòu)的有多少棵？

　　思路： 考慮第n個(gè)點(diǎn)為根，那么左邊可能有0～n-1個(gè)點(diǎn)，右邊就是剩下的點(diǎn)，枚舉左邊有多少個(gè)點(diǎn)即可。求C_n。

經(jīng)典題（8）：矩陣連乘問(wèn)題，n個(gè)矩陣相乘，要求為他們加括號(hào)改變乘法的順序，有多少種方法？

　　思路： 仍然是”合法的括號(hào)序列“的那道題。

總結(jié)：通過(guò)上面的題觀察到，一共有兩種類型，一種是”括號(hào)匹配“類型，一種是”基本問(wèn)題“。如果需要匹配的，一般就是第一種類型，否則就是第二種。它們對(duì)應(yīng)的模型都差不多。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Catalan数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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