戴德金原理

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戴德金原理(Dedekind principle)亦稱戴德金分割，是保證直線連續(xù)性的基礎(chǔ)，其內(nèi)容為：如果把直線的所有點分成兩類，使得：1.每個點恰屬于一個類，每個類都不空。2.第一類的每個點都在第二類的每個點的前面，或者在第一類里存在著這樣的點，使第一類中所有其余的點都在它的前面；或者在第二類里存在著這樣的點，它在第二類的所有其余的點的前面。這個點決定直線的戴德金割切，此點稱為戴德金點(或界點)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)于1872年提出來的，在構(gòu)造歐氏幾何的公理系統(tǒng)時，可以選取它作為連續(xù)公理，在希爾伯特公理組Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基礎(chǔ)上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價[1]。

中文名：戴德金原理外文名：Dedekind principle所屬學(xué)科：數(shù)學(xué)所屬問題：高等幾何(幾何基礎(chǔ))別名：戴德金分割提出者：戴德金((J.W.)R.Dedekind)

目錄

1戴德金分割
2實數(shù)的構(gòu)造
3戴德金定理

戴德金分割

編輯語音
定義若將實數(shù)集R分成兩個子集S和T，它們滿足：
(1)；
(2)；
(3)，總有x<y(稱S為左集，T為右集)
則稱為實數(shù)集R的一個“戴德金分割”，記作(S，T)[2]。
“戴德金分割”的第一條要求是左集S與右集T都不是空集，也就是說它們中都有實數(shù)，簡稱為不空。第二條要求是S和T包含了所有的實數(shù)，換句話說，對于任何一個實數(shù)或者屬于左集S或者屬于右集T，二者必居其一，簡稱為不漏。第三條要求是左集S中的實數(shù)都比右集T中的實數(shù)小，簡稱為不亂。由第三條可以推知左集中的實數(shù)不會在右集中出現(xiàn)，右集中的數(shù)也不會在左集中出現(xiàn)。若x屬于左集，凡小于x的實數(shù)也都屬于左集，若y屬于右集，凡大于y的實數(shù)也都屬于右集。
例如令

讀者可以驗證(S，T)是一個戴德金分割，再如令
S={x∈R | 存在自然數(shù)n，使}，
T={x∈R | x≥1}。
這也確定了一個戴德金分割(S，T)。
第一個戴德金分割中，左集S有最大數(shù)，而右集T沒有最小數(shù)；第二個戴德金分割正相反，左集S沒有最大數(shù)，而右集T有最小數(shù)1。和1都叫做相應(yīng)的戴德金分割的中介點。一般說來，實數(shù)上的戴德金分割必有中介點，下面的定理便說明這一點，而在有理數(shù)集上若類似地作一個戴德金分割就不一定有中介點了。例如若令S={x∈Q | x≤0，或x2≤2)，T={x∈Q | x>0，且x2>2)則(S，T)構(gòu)成對有理數(shù)集Q的戴德金分割，但左集S無最大數(shù)；右集T無最小數(shù)，也就是(S，T)沒有中介點[2]。

實數(shù)的構(gòu)造

編輯語音
19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數(shù)集的分割精確地給出了實數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實數(shù)理論中的六大基本定理：確界原理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理和柯西收斂準(zhǔn)則。
在對有理數(shù)集Q利用戴德金分割構(gòu)造實數(shù)之前，先給出一個引理：任意兩個有理數(shù)之間，必然存在無數(shù)個有理數(shù)。引理非常容易證明，設(shè)a和b是兩個有理數(shù)，那么它們的算術(shù)平均值也必然是有理數(shù)并且c一定介于a和b之間。
現(xiàn)在對有理數(shù)集Q任意作一個戴德金分割(S,T)，此時可能會出現(xiàn)以下3種情況。
（1）S中有最大值，而T中無最小值。例如：
（2）S中無最大值，而T中有最小值。例如：
（3）S中無最大值，且T中無最小值。例如：
不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。這是因為如果設(shè)S中的最大值為a，T中的最小值為b，根據(jù)引理，它們的算術(shù)平均數(shù)c也是有理數(shù)且a<c<b。但因為a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。這就導(dǎo)致了有理數(shù)c不屬于S和T的任意一個集合，與戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。
對于情況（1）和（2）戴德金稱該分割確定了一個有理數(shù)，或者把這樣的分割叫做一個有理數(shù)。對于（3），戴德金稱該分割確定了一個無理數(shù)，或者把這樣的分割叫做一個無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，記做R，因此每個實數(shù)就是一個對有理數(shù)集Q的分割。
在這樣的定義下可以給出實數(shù)相等的定義以及大小的比較。
相等：設(shè)實數(shù)a、b是兩個戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此時必有T=T'），則稱a=b。
大小比較：若集合S?S'，則稱a<b。若集合S?S'，則稱a≤b。
也就是說，要證明兩個實數(shù)相等，只需要證明分割所得到的S和S'相等。

戴德金定理

編輯語音
實數(shù)集R的任一戴德金分割(S，T)，都唯一地確定一個實數(shù) (稱為中介數(shù)或中介點)，它或者是S的最大數(shù)(此時T中無最小數(shù))，或者是T的最小數(shù)(此時S中無最大數(shù))。

出處：https://baike.baidu.com/item/%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91%E5%8E%9F%E7%90%86

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總結(jié)

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