??繼續(xù)講故事~~
??我們的主人公現(xiàn)在已經(jīng)告別了生于斯，長(zhǎng)于斯的故鄉(xiāng)，來(lái)到了全國(guó)最大的城市S市。這座S市，位于國(guó)家的東南部，是全國(guó)的經(jīng)濟(jì)中心，工商業(yè)極為發(fā)達(dá)，是這個(gè)國(guó)家的人民所向往的城市。這個(gè)到處都留著奶與蜜的城市，讓丁丁充滿了好奇感和新鮮感，他多想好好觸摸這個(gè)城市的脈搏啊！
??這不，他此刻正走在城市的某高新園區(qū)，不遠(yuǎn)處傳來(lái)鋼條切割的聲音。他好奇地走上前去，看著工人們正在熟練地切割鋼條，并打包完成包裝。此時(shí)，一位工人看到了丁丁，一看，竟是自己的同鄉(xiāng)。他熱情地上去打了招呼，并詢問(wèn)了鄉(xiāng)下的情況，他倆約了中午一起吃飯。
??午飯時(shí)，老鄉(xiāng)熱情地請(qǐng)丁丁在園區(qū)最好的飯店吃飯，他倆聊得也很開(kāi)心。突然，老鄉(xiāng)想到了丁丁學(xué)過(guò)計(jì)算機(jī)方面的理論，于是他準(zhǔn)備把自己最近遇到的問(wèn)題告訴丁丁，看看他能不能解決。

鋼條切割問(wèn)題： 給定一段長(zhǎng)度為n英寸的鋼條和一個(gè)價(jià)格表(p_i(i=1,2,...,n)),求切割鋼條方案，使得銷售收益(R_n)最大。注意，如果長(zhǎng)度為n英寸的鋼條的價(jià)格(p_n)足夠大，最優(yōu)解可能就是完全不需要切割。

已知鋼條價(jià)格表如下：

??聽(tīng)到老鄉(xiāng)正在為整個(gè)問(wèn)題發(fā)愁，丁丁內(nèi)心也想著嘗試解決這個(gè)問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)，這個(gè)問(wèn)題也是可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解決的，于是，他拿出稿紙推演起來(lái)：

將鋼條從左邊切割下長(zhǎng)度為i的一段，只對(duì)右邊剩下的長(zhǎng)度為n-i的一段繼續(xù)進(jìn)行切割（遞歸求解），對(duì)左邊的一段則不再進(jìn)行切割。這樣，不做任何切割的方案可以描述為：第一段長(zhǎng)度為n，收益為pn，剩余部分長(zhǎng)度為0，對(duì)應(yīng)的收益為(R_0)=0。于是，我們就得到該問(wèn)題的求解公式：

[R_n=minlimits_{1leq i leq n}(p_n+R_n-1)
]

采用自底向上法（bottom-up method）來(lái)求解該問(wèn)題，需要用一個(gè)列表來(lái)記錄收益(r_n),一個(gè)列表來(lái)記錄切割方案，其Python代碼如下：

import time
# 使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法(dynamic programming)解決鋼條切割問(wèn)題

# 鋼條長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)的收益
length = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
profit = (1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30)

# 動(dòng)態(tài)歸納法，自底向上的CUT-ROD過(guò)程，加入備忘機(jī)制
# 運(yùn)行時(shí)間: 多項(xiàng)式
# 參數(shù)：profit: 收益列表, n: 鋼條總長(zhǎng)度
# 返回參數(shù): q: 最大收益
def bottom_up_cut_rod(profit, n):
    r = [0] # 收益列表
    s = [0]*(n+1) # 切割方案列表

    for j in range(1, n+1):
        q = float('-inf')
        for i in range(1, j+1):
            if max(q, profit[length.index(i)]+r[j-i]) == profit[length.index(i)]+r[j-i]:
                s[j] = i
            q = max(q, profit[length.index(i)]+r[j-i])

        r.append(q)
    return r[n], s[n]

# method of how to cut the rod
def rod_cut_method(profit, n):
    how = []
    while n != 0:
        t,s = bottom_up_cut_rod(profit, n)
        how.append(s)
        n -= s

    return how

for i in range(1, 11):
    t1 = time.time()
    money,s = bottom_up_cut_rod(profit, i)
    how =  rod_cut_method(profit, i)
    t2 = time.time()
    print('profit of %d is %d. Cost time is %ss.'%(i, money, t2-t1))
    print('Cut rod method:%s
'%how)

輸出結(jié)果：

profit of 1 is 1. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[1]

profit of 2 is 5. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[2]

profit of 3 is 8. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[3]

profit of 4 is 10. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[2, 2]

profit of 5 is 13. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[3, 2]

profit of 6 is 17. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[6]

profit of 7 is 18. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[6, 1]

profit of 8 is 22. Cost time is 0.0005009174346923828s.
Cut rod method:[6, 2]

profit of 9 is 25. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[6, 3]

profit of 10 is 30. Cost time is 0.0s.
Cut rod method:[10]

不一會(huì)兒他就搞定了這個(gè)問(wèn)題，他將不同長(zhǎng)度的鋼條所能獲得最大收益和對(duì)應(yīng)的切割方案告訴了老鄉(xiāng)。老鄉(xiāng)聽(tīng)后大喜，他為丁丁解決了這個(gè)困擾它們公司長(zhǎng)久的問(wèn)題而感到由衷高興，有了以上的結(jié)果，那么，鋼條的長(zhǎng)度再長(zhǎng)也不是問(wèn)題了。
??午飯后，老鄉(xiāng)將剛才吃飯時(shí)丁丁的解決方法告訴了老板，老板也是喜出望外，他決定高薪聘請(qǐng)這個(gè)年輕人。而我們的丁丁，他早已離開(kāi)高新區(qū)，向著下一個(gè)目的地出發(fā)了~~

注意：本人現(xiàn)已開(kāi)通兩個(gè)微信公眾號(hào)： 用Python做數(shù)學(xué)（微信號(hào)為：python_math）以及輕松學(xué)會(huì)Python爬蟲（微信號(hào)為：easy_web_scrape）， 歡迎大家關(guān)注哦~~

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划法（五）钢条切割问题（rod cutting problem）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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