歐拉公式（英語：Euler’s formula，又稱尤拉公式）是在復分析領域的公式，將三角函數與復數指數函數相關聯，因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。尤拉公式提出，對任意實數xx，都存在:

ejx=cosx+jsinxejx=cos?x+jsin?x

其中jj是虛數單位。

由上式，我們可以推導出：

sin?=12j(ej??e?j?)sin??=12j(ej??e?j?)

cos?=12(ej?+e?j?)cos??=12(ej?+e?j?)

證明：

有許多方式可以證明歐拉公式，這里僅用泰勒級數進行證明，其他方式可以參考Wiki歐拉公式

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在知乎上看到了Heinrich寫的一篇關于傅里葉變換的文章，讓我茅塞頓開，驚嘆數學的美麗和神奇，文章中介紹了復數的意義，我覺得講的很好，故記錄下來：

虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以3的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了180度。

我們知道乘-1其實就是乘了兩次 i使線段旋轉了180度，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了90度。

我們就求同一坐標系A一點旋轉B角度到A'后A'的坐標是多少吧。先設A(x,y),當然也可以表示為rxexp(ja)，r表示A到坐標原點O的距離，exp是以自然常數e為底的指數函數，a是角度，如下圖，x=rcos(a)，y=rsin(a)，只是這里引入了復數，跟原先的坐標系有區別。A'就表示為rxexp(j(a+B))，x'=rcos(a+B)，y'=rsin(a+B)。怎么用x,y,B表示A'就不多說了。自己寫一下才會了解。

那么對于坐標系旋轉的類似問題，你是不是也理解了呢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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