前言

等差數列的前(n)項的求和公式推導方法，就是倒序相加求和法。

適用范圍

①等差數列；

②更多的體現為對函數性質的考查，尤其是關于中心對稱的函數，自然有對稱性的數列的求和也可以；

典例剖析

例1【函數性質的應用】定義在(R)上的函數滿足(f(cfrac{1}{2}+x)+f(cfrac{1}{2}-x)=2)

求值：(S=f(cfrac{1}{8})+f(cfrac{2}{8})+f(cfrac{3}{8})+cdots+f(cfrac{7}{8}))．

(S=f(cfrac{1}{8})+f(cfrac{2}{8})+f(cfrac{3}{8})+cdots+f(cfrac{7}{8})①)．

(S=f(cfrac{7}{8})+f(cfrac{6}{8})+f(cfrac{5}{8})+cdots+f(cfrac{1}{8})②)．

相加，求和得到(S=7).

例2【函數性質的應用】求值：(S=sin^21^{circ}+sin^22^{circ}+sin^23^{circ}+cdots+sin^288^{circ}+sin^289^{circ})

法1：(sin^21^{circ}+sin^289^{circ}=1)，(sin^22^{circ}+sin^288^{circ}=1)，(cdots)，(sin^244^{circ}+sin^246^{circ}=1)，(sin^245^{circ}=cfrac{1}{2})，

故原式(S=44+cfrac{1}{2}=44.5)。

法2：(S=sin^21^{circ}+sin^22^{circ}+sin^23^{circ}+cdots+sin^288^{circ}+sin^289^{circ})①，

則有(S=sin^289^{circ}+sin^288^{circ}+sin^287^{circ}+cdots+sin^22^{circ}+sin^21^{circ})，

即有(S=cos^21^{circ}+cos^22^{circ}+cos^23^{circ}+cdots+cos^288^{circ}+cos^289^{circ})②，

①+②得到(2S=1+1+1+cdots+1=89)，

則(S=44.5)

例3已知函數(f(x)=x+sinpi x-3)，則(f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{2}{2017})+cdots) (+f(cfrac{4032}{2017})+f(cfrac{4033}{2017}))的值為______.

【觀察】：注意到(cfrac{1}{2017}+cfrac{4033}{2017}=cfrac{4034}{2017}=2)，(cfrac{2}{2017}+cfrac{4032}{2017}=cfrac{4034}{2017}=2)，(cdots)，

【歸納】：以上諸多表達式，我們一般不會一一驗證，如果我們用(x)和 (2-x)來代表上述不同表達式中的自變量，則到兩端等距離的兩項的函數值的和就可以歸納為(f(x)+f(2-x))，

【猜想】：是否對任意(x)，都滿足(f(x)+f(2-x)=m)((m)為常數)？

【驗證】：(f(x)+f(2-x)=x+sinpi x-3+(2-x)+sinpi(2-x)-3)

(=sinpi x+sin(2pi-pi x)-4=sinpi x-sinpi x-4=-4)，

結論：(f(x)+f(2-x)=-4)。

解析：故(f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{2}{2017})+cdots) (+f(cfrac{4032}{2017})+f(cfrac{4033}{2017}))

(=[f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{4033}{2017})]+[f(cfrac{2}{2017})+f(cfrac{4032}{2017})]+cdots+[f(cfrac{2016}{2017})+f(cfrac{2018}{2017})]+f(cfrac{2017}{2017}))

(=2016 imes(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066)，故選(D)。

例4【利用類對稱性求值】【2017寶雞中學第一次月考第15題】已知函數(f(x)=frac{x^2}{1+x^2})，則(2f(2)+)(2f(3)+)(cdots+2f(2017))(+f(frac{1}{2})+)(f(frac{1}{3}))(+cdots+f(frac{1}{2017}))(+frac{1}{2^2}f(2)+)(frac{1}{3^2}f(3)+cdots+)(frac{1}{2017^2}f(2017))的值為多少？

分析：從研究函數的特殊性質入手，切入點是給定式子的結構；注意到自變量有(2)和(cfrac{1}{2})，

所以先嘗試探究(f(x)+f(frac{1}{x}))，結果，(f(x)+f(frac{1}{x})=frac{x^2}{1+x^2}+cfrac{(frac{1}{x})^2}{1+(frac{1}{x})^2}=1)，

這樣就可以將中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表為(f(2)+cfrac{1}{2^2}f(2))，

故接下來探究(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=)?，結果發現(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=cfrac{x^2}{1+x^2}+cfrac{1}{x^2}cdotcfrac{x^2}{1+x^2}=1)，

到此我們以及對整個題目的求解心中有數了，則整個題目的求解思路基本清晰了。

解析：由(f(x)+f(cfrac{1}{x})=1)和(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=1)，可將所求式子變形得到：

(2f(2)+2f(3)+cdots+2f(2017)+f(frac{1}{2})+f(frac{1}{3})+cdots+f(frac{1}{2017})+frac{1}{2^2}f(2)) (+frac{1}{3^2}f(3)+cdots+)(frac{1}{2017^2}f(2017))

(={[f(2)+f(frac{1}{2})]+[f(3)+f(frac{1}{3})]+cdots+[f(2017)+f(frac{1}{2017})]}) (+{[f(2)+frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+frac{1}{3^2}f(3)]+cdots++[f(2017)+frac{1}{2017^2}f(2017)]})

(=2016+2016=4032).

總結

以上是生活随笔為你收集整理的倒序相加求和法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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