地球自轉的角速度(地球公轉的角速度)。

來源:劉彥柱科學網博客，作者:劉彥柱。

01

福柯擺和?？峦勇?。

1851年，法國物理學家?？?j .)在巴黎萬神殿的穹頂上懸掛了一根67米長的繩子，繩子的下端連接著一個28公斤重的鐘擺(圖1和圖2)。這個著名的傅科擺是人類第一個證明地球自轉的實驗。雖然哥白尼(n .)的日心說早在16世紀就提出了，但人們仍然不能通過自己的感官直接認識地球的運動。

1.?？?，1819-1868。

圖2?？聰[實驗。

1602年，伽利略對單擺定律有了深刻的理解。單擺的擺動是平面運動，擺動平面在慣性空范圍內保持方向不變。如果地球旋轉，擺動平面將相對于地球偏轉。地球每天晝夜繞極軸自轉一周，自轉角速度e每小時逆時針旋轉150°。巴黎的緯度是北緯48.52度，地球繞巴黎垂直線的角速度是esin，大約是每小時11.24。將擺長l=67m，重力加速度g=9.8m/s代入單擺周期公式，t = 2 (l/g) 1/2 = 16.4s，每次擺動，擺動平面應相對于地球順時針轉動3分鐘左右。這個實驗驗證了?？碌念A言，引起了很大的轟動。

?？聰[實驗完成后的第二年，?？掠?852年在巴黎科學院進行了另一項實驗。他展示了一種由一根細線組成的新儀器，細線懸掛著一個帶有轉子的環，轉子的旋轉軸可以自由改變方向(圖3)。保持轉子旋轉軸沿子午線向北水平。無扭矩時，轉軸應保持慣性空之間的方位不變。如果地球逆時針旋轉，地球上的觀測者應該可以看到旋轉軸相對于地球的順時針偏轉，從而再次證明了地球的自轉(圖4)。然而，實驗并沒有達到預期的結果，兩個重要的原因導致了失敗。一是轉子轉速太低；第二，懸絲的扭矩嚴重阻礙了轉子的運動。雖然實驗不成功，但意義重大，因為這個不完美的儀器是深圳生命網歷史上第一個具有科學意義的陀螺儀。

圖3?？峦勇輧x。

02

福柯陀螺儀能夠指向北方。

陀螺儀是由外環、內環(或包含轉子的外殼)和轉子組成的系統。建立以陀螺質心O為原點的(O-xyz)坐標系。x軸為外環軸，y軸為內環軸，z軸為轉子極軸，是轉子的轉軸。外環的角是，內環圍繞外環的角是(圖4)。I，j，k代表每個坐標軸的基向量。如果轉子的極慣性矩為c，繞z軸快速旋轉的角速度為0，那么動量矩L=C0k。在分析陀螺轉子進動時，可以忽略緩慢旋轉的內外環的動量矩。以O為原點建立與地球合并的地理坐標系(O-XEN)，其中x軸沿垂直線向上，e軸沿緯度線向東，n軸沿子午線向北(圖5)。陀螺儀的外環軸x沿著垂直軸x放置在地球上，我們假設內環相對于外環是固定的，且let =0。由于轉子轉軸z軸上只剩下一個自由度，故稱之為單自由度傅科陀螺儀。

圖4由內環和外環支撐的陀螺儀。

圖5地理坐標系。

旋轉物體的轉軸在力矩作用下改變方向的運動稱為進動，剛體進動產生的轉動慣量稱為陀螺力矩。是一個旋轉坐標系，其中地球繞極軸Z0以角速度e旋轉。設安裝地點的緯度為X0、E0、N2，表示(O-XEN)各坐標軸的基向量，設1=ecos，2=esin，則e=2X0+1N0。假設(O-xyz)和(O-XEN)在初始時間重合，轉子的極軸z指的是北方。然后框架繞X軸逆時針轉動，使極軸偏離子午線。由于框架可以不受約束地繞x軸自由旋轉，所以e沿x軸的分量2X0不能傳遞給轉子。只有沿n軸的分量1N0才能通過軸承的約束力作用在轉子上進動，產生沿x軸的陀螺力矩Mc=L1N0。僅導出預留的一階小量，代入N0=j+k后。

這個力矩與框架的偏轉方向相反，促使框架和極軸回到繞X軸的子午線位置。在回歸過程中，轉子動量矩l沿y軸變化所需的外力矩由軸承的約束提供。上述分析表明，單自由度傅科陀螺儀具有指向北方的能力。

然而，這種單自由度陀螺儀很難用于船舶或其他移動載體。原因是地球自轉太慢，產生的陀螺力矩太弱，無法克服軸承摩擦的阻礙。此外，陀螺的架軸必須保持嚴格垂直，稍有傾斜就會造成嚴重誤差。雖然無法在實踐中使用，但這個簡單的陀螺裝置深圳生活網卻開啟了利用地球自轉創造指北針儀的奮斗歷程。

03

如何創建實用的陀螺羅盤？

我們的祖先很早就在海洋上移動，在浩瀚的海洋中航行需要正確的方向。利用地球磁場的指南針是中國四大發明之一，自傳入西方后，成為遠洋船隊必備的磁羅盤。15世紀，鄭和下西洋的深圳生命網龐大船隊，16世紀的伽馬、哥倫布船隊，都離不開磁羅盤的導航，但磁羅盤只能用于木船。19世紀初，歐洲出現了鐵船，鋼船體對磁力線的干擾使磁羅盤失效。因此，探索新的導航羅盤已成為主要航海國家的緊迫任務。?？峦勇輧x的出現為新指南針的產生提供了希望。

單自由度陀螺儀不成功，使內環自由旋轉，改為二自由度陀螺儀。外環垂直固定在地球北半球P點，內環水平，轉子極軸沿子午線指向北方。短時間后，地球因自轉而繞南北極軸轉了一個微小的角度，使P點沿緯度線由西向東轉到P點。由于陀螺的同軸度，為了保持慣性空中的方位不變，極軸向東偏離子午線的新位置，產生偏轉角(圖6)。單自由度陀螺儀可以利用地球自轉產生的陀螺力矩使極軸回到子午線位置，但由于恢復力矩太弱，實際上無法使用。因此，關鍵的問題是找到更強大的力量來快速將極軸恢復到原來的位置。

仔細觀察可以發現，在從子午線向東偏離的同時，極軸略微升高，偏離角出現而不是水平。極軸偏離水平面的現象非常重要，這表明了通過重力恢復原始位置的可能性。如果在安裝轉子的內環下方增加配重，內環和轉子組件的重心會從支撐中心向下偏離，形成繞Y軸旋轉的復擺。內環抬頭時，重力產生沿緯度向西的力矩，使極軸帶動外環沿垂直軸向西運動，回到與子午線一致的原始位置。因此思路逐漸清晰:用重力擺產生的力矩代替地球自轉弱引起的陀螺力矩，可以使陀螺轉子進動循經。

圖6地球自轉引起的轉子極軸偏轉。

圍繞x軸的重量力矩mg1與轉子進動產生的陀螺力矩L(d/dt)平衡。導出

其中k =毫克升/升..此時，轉子因內環偏轉角變化而產生的繞y軸的陀螺力矩L(d/dt)與地球自轉e引起的陀螺力矩L1平衡，并導出。

以上兩個方程決定了指南針的進動規律。對線性方程進行了分析，導出了特征=i(k1)1/2，表明指北針的平衡狀態是穩定的。擾動運動是圍繞平衡態的周期運動，周期為T=2/(k1)1/2。一

圖7陀螺羅盤的阻尼。

第一種減震方案的實現方式有很多種，最簡單的方法是將下下擺配重與內環總成的連接點向東稍微偏移一個角度。當極軸相對水平面傾斜時，重力不僅會產生繞y軸的力矩My，還會產生繞x軸的微小力矩Mx進行阻尼(圖8)。

圖8配重和內圈之間的偏心連接。

實現第二種方案的難點在于無法提前獲取方位信息，因為測量基準是羅盤要建立的子午面。通過利用和之間的相位差為90°的特性，可以用與相位差為90°的水平轉矩來代替阻尼轉矩。液體擺有這種特殊的功能。它由兩個形狀相同的盛裝粘性液體的容器組成，容器之間通過細管連通。連接器載體傾斜時，液體從高端容器流入低端容器，產生重力矩，反映復擺效應。假設液體表面相對于容器軸線y的傾斜角是載體軸線相對于水平軸線y的傾斜角，液體表面相對于y軸線的傾斜角是-(圖9)。連通管中液體的速度與兩端壓差成正比，即正比于-，d/dt=-c(-)。將比例系數c的倒數寫成T=1/c和T(d/dt)+=。對于強粘性液體，時間常數t足夠大。包括流速的第一項大約與成比例，這表明與基底搖擺運動成比例的傾覆力矩之間的相位差接近90°。

圖9液體擺。

04

實踐中的新問題。

在解決了羅經的指北原理后，實踐中出現了一些新的理論問題。首先，實際使用羅盤時，理論分析中船舶南北方向的航行速度會改變地理坐標系的方位，使接近陀螺極軸的子午線偏離真子午線。由此產生的子午線偏差稱為速度誤差(圖10)。

其中r是地球的半徑，vE和vN是船的東、北向速度。誤差隨著緯度的增加而增加，但在導航時可以修正。只有當緯度接近地球兩極時，誤差才無限增大，不能用于高緯度地區。

圖10速度誤差的產生。

此外，船舶在重力擺上加速、減速或轉彎所產生的慣性力也會造成沖擊誤差。這個問題被德國物理學家m .舒勒徹底解決了，他在1923年從理論上證明，如果將單擺的擺長增加到與地球半徑R相等，則無論載體的加速度如何，單擺都能始終與地球的垂直方向保持一致，從而避免了加速度的干擾。地球半徑R = 6371km千米，重力加速度g = 9.81m米/秒代入周期公式T=2(R/g)1/2，計算周期為84.4分鐘..這種可以避免加速度干擾的特殊周期稱為舒勒周期。可以證明，如果陀螺周期設計為舒勒周期，則可以避免沖擊誤差。

最嚴重的問題來自于船體在波浪的激勵下不斷搖擺。圍繞艏艉線的擺動可以高達十幾度。指南針的初步實踐已經表明了擺動帶來的巨大誤差，因此我們應該首先從理論上討論誤差的原因，以改進指南針的結構。設船舶航行方位角為，使地理坐標系(O-XEN)繞垂直軸X順時針旋轉，形成新的參考坐標系(O-XYZ)。N軸到達的新位置是沿著船體的艏艉線。船體以角頻率和振幅圍繞z軸圍繞浮動中心O0滾動。假設陀螺儀支撐點o與O0的垂直距離為h，沿水平軸y的加速度出現在點o處，a=aY0，a=hsint(圖11)。

圖11船體繞z軸的搖擺。

為了避免羅盤隨船擺動，設計者在內環和外環之間增加了一個繞Z軸旋轉的中環，隔離擺動的船體。中環組件與內環和轉子的重心下移形成復擺，使其在船體擺動時仍能保持垂直。讓羅盤處于理想狀態，陀螺坐標系(O-xyz)和地理坐標系(O-XEN)完全一致。如果組件的質量為m，則從移動質量中心O1到陀螺支點o沿擺動軸x1的矢量直徑為l，相對于垂直軸的擺動角為(圖12)。擺動引起的慣性力-ma相對于支點o產生力矩M=l(-ma)，其沿z軸的分量Mz使組件的擺角發生強制振動。同時，m沿x軸和y軸的分量Mx和My通過軸承傳遞給轉子。從圖13可以看出，在軋制過程中，由于方向相反，水平分量My被抵消，但是離心力分量Mx總是具有相同的方向。由于船體擺動的頻率遠高于陀螺的固有頻率，所以慣性矩Mx和My對陀螺的作用可以用每個周期的平均值來代替。My的平均值為零，而Mx的平均值使轉子偏離軸線，與地球自轉產生的陀螺力矩L1相平衡。偏角s是船舶搖擺引起的指示誤差；

這種搖擺誤差不僅取決于羅盤的結構參數、安裝位置和搖擺強度，還取決于緯度角和方位角。在= 0，90，180，270等特殊位置，擺動誤差為零；當= 45，135，225，315時，擺幅誤差具有最大值。緯度越高，擺動誤差越嚴重，接近地球兩極時擺動誤差無限增大。

圖12環組件的強迫振動。

圖13擺動引起的慣性力矩。

05

陀螺羅盤的技術實現。

在陀螺羅盤的機械原理得到充分論證后，就要靠工程師的智慧和企業家的勇氣把理論變成現實。在?？峦勇輧x的失敗教訓中，1865年，特魯夫(g .)通過使用電機驅動解決了提高陀螺儀速度的問題。1904年，FPPL (A .)利用德國鋼絲懸掛的電動雙轉子陀螺成功證明了地球自轉，實現了福柯未完成的愿望。因此，消除軸承摩擦、羅盤阻尼和消除擺動誤差成為工程師們迫切需要解決的關鍵技術。

在19世紀末的早期工作中，特魯維已經用內外圈組成的萬向支架代替了鋼絲懸掛支架。1884年，開爾文勛爵提出了將帶有轉子的組件懸浮在液體中的支撐方案。經過各種技術方案的不懈探索，20世紀初取得了實質性進展。1908年，德國的安希茨-KMPFE博士制造了一種懸掛在水銀容器中的單轉子陀螺羅盤(圖14)。1909年，美國的斯佩里(e.a .)采用了類似?？峦勇輧x的鋼絲懸掛支架，但增加了一個控制系統，隨時消除鋼絲的扭矩。此后，形成了沿不同技術路線發展的兩種陀螺羅盤。

圖14史高斯單轉子陀螺羅盤。

1912年，安海斯對指南針進行了重大改進。他把框架和轉子放入一個空中心鋼球中，鋼球懸掛在水銀容器中，其重心低于漂浮中心。為了消除擺動誤差，除了主旋翼H1沿Z軸外，鋼球中還增加了兩個輔助旋翼H2和H3，它們通過杠桿連接，以確保它們與Z軸具有相同的傾角。輔助轉子沿Z軸的動量矩與主轉子的動量矩疊加起導向作用。由于方向相反，沿y軸的分量偏移為零(圖15)。當沿y軸的慣性力對鋼球質心產生力矩m時，將迫使輔助轉子H2和H3沿z軸的同一方向進動，產生的陀螺力矩將抵消干擾力矩，從而避免鋼球繞z軸擺動，從而消除擺動的影響。

圖15具有三個轉子的史高斯陀螺羅盤。

舒爾茨的三轉子羅盤已經在航海上使用了15年，享有很高的聲譽。1927年再次修改，省略了陀螺儀的主旋翼H1，完全由傾角45°的輔助旋翼H2和H3代替。陀螺儀和所有附件都封裝在密封的銅球中，并漂浮在液體容器中(圖16)。值得一提的是，物理學大師愛因斯坦(a .)曾作為專利鑒定專家參與《紅掌經》的修訂設計(圖17)。作為一種成熟的技術方案，改進后的安舒茨雙轉子羅盤被前蘇聯仿制，形成了庫爾斯陀螺羅盤。也傳入中國，成為國內較早的指南針產品。

圖16 Amphotz雙轉子陀螺羅盤。

圖17指南針實驗船上的安海斯(左)和愛因斯坦(右)。

另一個方向開發的斯佩里羅盤由帶控制的鋼絲懸掛支撐，單個轉子加入液體擺產生阻尼，消除擺動誤差。隨著科學技術的進步，以斯佩里羅盤為基礎，它已經發展成為現代電控羅盤(圖18)。采用與液體擺性質相同的強阻尼擺作為基本敏感元件，將測得的內環偏轉角數據通過控制系統輸入電力矩裝置，產生指向北方過程中所需的力矩。因此，純粹由力學定律創造的傳統指南針完全被電子控制系統所取代。

圖18電控陀螺羅盤。

電子控制羅盤的出現，結束了陀螺羅盤百年的發展歷史。羅經的發明是力學和工程學結合的成功范例?；仡欉@段歷史的意義在于了解人類從認識到利用自然規律的奮斗歷程，依靠力學家、工程師和企業家的不懈努力，航海家的夢想終于實現了。對解決當前技術發展中的各種新問題具有借鑒意義。

參考文獻:

劉彥柱。陀螺力學(第二版)。北京:科學出版社，2009。

總結

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