第十講 矩陣的三角分解

一、 Gauss消元法的矩陣形式

n元線性方程組

設(shè),設(shè)A的k階順序主子式為，若，可以令

并構(gòu)造Frobenius矩陣

計(jì)算可得

該初等變換不改變行列式，故，若，則，又可定義

，并構(gòu)造Frobenius矩陣

依此類推，進(jìn)行到第(r-1)步，則可得到

（r＝2,3,,n-1）

則A的r階順序主子式，若，則可定義，并構(gòu)造Frobenius矩陣

（r＝2,3,,n-1）

直到第（n－1）步，得到

則完成了消元的過(guò)程

而消元法能進(jìn)行下去的條件是（r＝1,2,,n-1）

二、 LU分解與LDU分解

容易求出

為下三角矩陣

令為上三角矩陣，則

（L: lower U: upper L: left R: right）

以上將A分解成一個(gè)單位下三角矩陣與上三角矩陣的乘積，就稱為L(zhǎng)U分解或LR分解。

兩個(gè)三角方程回代即可

LU分解不唯一，顯然，令D為對(duì)角元素不為零的n階對(duì)角陣，則

可以采用如下的方法將分解完全確定，即要求

L為單位下三角矩陣
U為單位上三角矩陣
將A分解為L(zhǎng)DU，其中L、U分別為單位下三角、單位上三角矩

陣，D為對(duì)角陣D＝diag[]，而（k=1,2,…n）,

。

n階非奇異矩陣A有三角分解LU或LDU的沖要條件是A的順序主子式（r=1,2，,n）

n個(gè)順序主子式全不為零的條件實(shí)際上是比較嚴(yán)格的，特別是在數(shù)值計(jì)算中，很小時(shí)可能會(huì)帶來(lái)大的計(jì)算誤差。因此，有必要采取選主元的消元方法，這可以是列主元（在，，…中選取模最大者作為新的）、行主元（在，，…中選取模最大者作為新的）全主元（在所有（）中選模最大者作為新的）。之所以這樣做，其理論基礎(chǔ)在于對(duì)于任何可逆矩陣A，存在置換矩陣P使得PA的所有順序主子式全不為零。

列主元素法：在矩陣的某列中選取模值最大者作為新的對(duì)角元素，選取范圍為對(duì)角線元素以下的各元素。比如第一步：找第一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)最大的一個(gè)，將其所在的方程作為第一個(gè)方程，即交換矩陣的兩行，自由項(xiàng)也相應(yīng)變換；第二步變換時(shí)，找中最大的一個(gè)，然后按照第一步的方法繼續(xù)。

行主元素法：在矩陣的某行中選取模值最大者作為新的對(duì)角元素，選取范圍為對(duì)角線元素以后的各元素，需要記住未知數(shù)變換的順序，最后再還原回去。因此需要更多的存儲(chǔ)空間，不如列主元素法方便。

全主元素法：若某列元素均較小或某行元素均較小時(shí)，可在各行各列中選取模值最大者最為對(duì)角元素。與以上兩種方法相比，其計(jì)算穩(wěn)定性更好，精度更高，計(jì)算量增大。

三、其他三角分解

1. 定義 設(shè)A具有唯一的LDU分解

若將D、U結(jié)合起來(lái)得（），則稱為A的Doolittle分解
若將L、D結(jié)合起來(lái)得（），則稱為A的Crout分解

2. 算法

Crout分解，設(shè)

，

由乘出得

①

②

③

④

⑤ 一般地，對(duì)A,的第k列運(yùn)算，有

⑥ 對(duì)A，U的第k行運(yùn)算，有

直至最后，得到的恰可排成

先算列后算行

3. 厄米正定矩陣的LU分解（Cholesky分解）

其中G為下三角矩陣，

理論上，Cholesky具有中間量可以控制（）的好處，應(yīng)較穩(wěn)健，但實(shí)際計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，對(duì)希爾伯特矩陣問(wèn)題，不如全主元方法。

作業(yè)：p195 2、3

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總結(jié)

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