在思考一個有關于偽外接圓的等角線問題時，我回想起偽外接圓的一道小題目，這是2012年羅馬尼亞大師杯的第六題，這道題目直接以結論的形式呈現出了偽外接圓的基本性質，是一道入門偽外接圓必做的精巧小題。

當然有些讀者可能從未見過"偽外接圓"這一名詞，這里給出定義敘述:過三角形兩點且與內切圓相切的圓成為此三角形的偽外接圓。

由于偽外接圓與內切圓相切，所以一般也歸于廣義的偽切圓。

由地位的對稱性，我們知道一個三角形有三個偽外接圓，在這道題目中這三個圓就是ω_a,ω_b,ω_c。

題目本身的圖很容易想象，所以這里就略去了畫圖這一步驟了，待后面有必要時再畫。

第一句話AA',BB',CC'三線共點是一句廢話，這由根心定理立得。然這樣的證明對后一句話沒有任何幫助，因為想證明此點在IO上的話，就不得不把這個點本身刻畫出來。

設△ABC的內切圓與BC,CA,AB分別切于D,E,F，與ω_a,ω_b,ω_c相切于X,Y,Z，設ω_a中弧BC的中點為L，ω_b中弧CA的中點為M，ω_c中弧AB的中點為N。下面我們通過局部化來對本題中ω_a的性質進行探索。

在兩圓位似的觀點下，XD顯然過弧BC的中點L，這說明∠LCD＝∠BXD＝∠LXC，得到△LCD∽△LXC，于是LB2＝LC2＝LD×LX，所以L在○I與點圓C的根軸上。同理M也在○I與點圓C的根軸上。

于是直線LM⊥IC，LM∥DE，且LM經過線段CD,CE的中點。

設XD與YE交于K，已知D,E,X,Y四點共圓且LM∥DE，由Reim定理知L,M,X,Y四點共圓，于是KL×KX＝KM×KY，說明K在ω_a和ω_b的根軸CC'上。由地位的對稱性，K也在直線AA'和BB'上。

下面來證K在直線IO上。

已經得到LM∥DE，同理MN∥EF，NL∥FD，故△LMN與△DEF位似。

設△ABC的旁心三角形為I_aI_bI_c，則L,M,N分別是線段DI_a,EI_b,FI_c的中點，且△I_aI_bI_c與△DEF位似，也與△LMN位似，位似中心均為K，則△I_aI_bI_c,△DEF的兩個外心和K這三點共線。

注意I是△DEF的外心兼△I_aI_bI_c的垂心，O是△I_aI_bI_c的九點圓圓心，于是IO經過△I_aI_bI_c的外心。前面已證K在△I_aI_bI_c外心與I的連線上，現在又知這條線就是IO，所以原命題得證。

附加探索:

根據△I_aI_bI_c與△LMN位似比為2:1(這個比例是由于LM經過線段CD,CE的中點)還可以立刻得到O是△LMN的外心。

作DD'⊥EF于D'，類似定義E',F'。已知I_aA⊥I_bI_c且△DEF與△I_aI_bI_c位似，所以D'和A是位似對應點，從而A,D',K共線，進一步得到△D'E'F'與△ABC位似，且位似中心為K。

由這道題及上面的附加探索，我們得到偽外接圓相關的幾個基本結論:

偽外接圓與內切圓的切點在旁心和內切圓與對邊切點的連線上，用上面的字母來表示就是X,D,I_a三點共線。

M在○I與點圓C的根軸上。

ω_a經過線段I_aD的中點。

三個偽外接圓的根心(題中的點K)是旁心三角形與內切圓切點三角形的位似中心(這個點稱為切聚點，在ETC中標號為X57)。

△D'E'F'與△ABC位似且位似中心為K。

最后附上本文最初提到的那道等角線的題目，此題我尚未做出，難度未可知，請讀者慎重嘗試。如圖所示，證明標注的兩個角相等。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三点外接圆_故地重游伪切圆——伪外接圆的基本性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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