字符串上的简单动态规划
因?yàn)閿?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)快學(xué)串了，以前又做過(guò)一些字符串dp的題，今天突然就想把它們寫在一起吧。
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直接開始
問(wèn)題1：給兩個(gè)字符串，求最長(zhǎng)公共子串
問(wèn)題2：給兩個(gè)字符串，求最長(zhǎng)公共子序列
問(wèn)題3：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)回文子串
問(wèn)題4：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)回文子序列
問(wèn)題5：給一個(gè)字符串，求將這個(gè)字符串變?yōu)榛匚拇枰迦氲淖钌僮址麄€(gè)數(shù)。
問(wèn)題6：最小編輯代價(jià)
問(wèn)題7：判斷交錯(cuò)組成
問(wèn)題8：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)相同前后綴
問(wèn)題9：給串a(chǎn)和b，判斷b是否在a中出現(xiàn)，若出現(xiàn)輸出第一次出現(xiàn)的位置。
問(wèn)題1：給兩個(gè)字符串，求最長(zhǎng)公共子串
串和序列的區(qū)別之前提到過(guò)，串連續(xù)，序列可以不連續(xù)
如果連續(xù)那就比較好想了，定義DP(i，j）的含義是兩個(gè)串分別以下標(biāo)i和j結(jié)尾最長(zhǎng)的公共子串長(zhǎng)度。
如果a[i]=b[j]，那DP(i，j）=DP(i-1，j-1）+1，如果DP(i-1，j-1）=0，還是同樣的操作，僅僅是之前不能構(gòu)成而已，那i和j結(jié)尾的最長(zhǎng)一定是1了。
如果a[i]!=b[j]，DP(i，j）=0，因?yàn)槎x是以i和j結(jié)尾，一定不存在這樣的相同子串。
初始化：先打第一行和第一列，相同為1，不同為0即可。
問(wèn)題2：給兩個(gè)字符串，求最長(zhǎng)公共子序列
舉例：
S1=“ABCBDAB.”
S2=“BABCBD.”
可以看出他們的最長(zhǎng)公共子序列有ABCB,ABCD ,BCBD等，長(zhǎng)度為4.
Dp(i,j)表示S的前i位與T的前j位的最長(zhǎng)公共子串長(zhǎng)度。
如果a[i]=b[j]，那DP(i，j）=DP(i-1，j-1）+1
否則，DP(i，j）=max（DP(i-1，j），DP(i，j-1））
仔細(xì)體會(huì)，手模擬幾個(gè)就懂了。第一次想可能沒(méi)那么容易
拓展：三個(gè)字符串：純dp做
注：多個(gè)字符串要其他做法，以后數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學(xué)到串了或者樹了再寫。
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問(wèn)題3：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)回文子串
馬拉車算法，我確實(shí)覺(jué)得也是動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想，跳轉(zhuǎn)看詳細(xì)介紹吧
https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79822584
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問(wèn)題4：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)回文子序列
對(duì)于任意字符串，如果頭尾字符相同，那么字符串的最長(zhǎng)子序列等于去掉首尾的字符串的最長(zhǎng)子序列加上首尾；如果首尾字符不同，則最長(zhǎng)子序列等于去掉頭的字符串的最長(zhǎng)子序列和去掉尾的字符串的最長(zhǎng)子序列的較大者。
因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
設(shè)字符串為str，長(zhǎng)度為n，p[i][j]表示第i到第j個(gè)字符間的子序列的個(gè)數(shù)（i<=j），則：
狀態(tài)初始條件：dp[i][i]=1 （i=0：n-1）
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j-1] + 2? if（str[i]==str[j]）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])? if （str[i]!=str[j]）
計(jì)算dp[i][j]時(shí)需要計(jì)算dp[i+1][*]或dp[*][j-1]，因此i應(yīng)該從大到小，即遞減；j應(yīng)該從小到大，即遞增。注意必須滿足i<=j的條件。
問(wèn)題5：給一個(gè)字符串，求將這個(gè)字符串變?yōu)榛匚拇枰迦氲淖钌僮址麄€(gè)數(shù)。
舉例：
ab3bd
只需變?yōu)閍db3bda即可，在前面插入d，在后面插入a;
思路：
設(shè)dp(i,j)為將Ai..Aj變?yōu)榛匚拇淖钚〈鷥r(jià),如果a[i]=a[j]，那不用說(shuō)了，肯定是dp(i,j)=dp(i+1,j-1),如果不相同，在前面或者后面插入一個(gè)字符，即dp(i,j)=min(dp(i,j-1),dp(i+1,j))+1
注意dp順序：
for i:=n downto 1
????for j:=i+1 to n
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另一種思路：
將原串與原串的倒序做一次最長(zhǎng)公共子序列，用原串長(zhǎng)度減去最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度，即為需要插入字符的個(gè)數(shù)。邏輯很好想，不過(guò)多介紹
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問(wèn)題6：最小編輯代價(jià)
這個(gè)解釋有點(diǎn)麻煩，思路分的比較多，是個(gè)值得好好思考一下的題。
[題目]
?給定兩個(gè)字符串str1 和str2，再給定三個(gè)整數(shù)ic、dc 和rc，分別代表插入、刪除和替換一個(gè)字符的代價(jià)，返回將str1編輯成str2的最小代價(jià)。
(舉例]
??????str1="abc"，str2="adc"， ic=5, ?dc=3, ?rc=2。
??????從"abc"編輯成"adc"，把b'替換成'd是代價(jià)最小的，所以返回2。str1="abc"，str2="adc", ic=5， ?dc=3, ?rc=100。
??????從"abc"編輯成"adc"，先刪除"b'， 然后插入d是代價(jià)最小的，所以返回8。str1="abc"，str2="abc", ic=5, ?dc=3, ?rc=2。
??????不用編輯了，本來(lái)就是一樣的字符串，所以返回0。
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思路：定義dp(i,j)為str1下標(biāo)i之前編輯到str2下標(biāo)j之前需要的最小代價(jià)。
Dp[0][0]=0，空到空，不用改變。
矩陣dp第一列即dp[..M-1][0]。dp[i][0]表 示str1[0..-1]編輯成空串的最小代價(jià)，亳無(wú)疑問(wèn)，是把str1[..i1]所有的字符刪掉的代價(jià)，所以dp[i][0]=dc*i。
.矩陣dp第一行即dp[0][..N-1]。 dp[0][j]表示空串編輯成str2[O.j-1]的最小代價(jià)，亳無(wú)疑問(wèn)，是在空串里插入str2[0.j-1]所有字符的代價(jià)，所以dp[0][]=ic*j。
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其他位置按照從左到右，再?gòu)纳系较聛?lái)計(jì)算，dp[i][j]的值只可能來(lái)自以下四種情況。
??????str1[0.i-1]可以先編輯成str1[..i-2]， 也就是刪除字符str1[i-1]， 然后由str1[0.i-2]編輯成str2[0.j-1]， dp[i-1][i]表 示str1[0.i-2]編輯成 str2[0.j-1]的 最小代價(jià)，那么dp[i][j]可能等于dc+dp[i-1][j]
??????str1[0.i-1]可以先編輯成str2[0.j-2], 然后將str2[0.j-2]插入字符str2[j-1]， 編輯成str2[0.j-1]，dp[i][j-1]表 示str1[..i-1]編 輯成str2[0.j-2]的最小代價(jià)， 那么dp[i][j]可能等于dp[i][j-1]+ic。
??????如果str1[i-1]!=str2[j-1]。先把str1[0.i-1]中str1[..i-2]的 部分變成str2[0.j-2], 然后把字符str1[i-1]替換成str2[-1], 這樣str1[..i-1]就編輯成str2[0.j1]了 。dp[i-1][j-1]表示str1[..i-2]編輯成str2[..i-2]的最小代價(jià)，那么dp[i][j]可 能等于dp[i-1]j-1]+rc.
如果str1[i-1]==str2[j-1]. 先把str1[0..i-1]中 str1[0..i-2]的 部分變成str2[0.j-2], ?因?yàn)榇藭r(shí)字符str1[i-1]等 于str2[j-1]， 所以str1[0.i-1]已 經(jīng)編輯成str2[0.j-1]了 。dp[i-1][j-1]表示str1[0i-2]編輯 成str2[..i-2]的 最小代價(jià)，那么dp[]ij]可能等于dp[i-1][j-1]
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問(wèn)題7：判斷交錯(cuò)組成
給定三個(gè)字符串strl str2和aim,如果aim包含且僅包含來(lái)自str1 和str2的所有字符，而且在aim中屬于str1的字符之間保持原來(lái)在str1中的順序，屬于str2的字符之間保持原來(lái)在str2中的順序，那么稱aim是str1和str2的交錯(cuò)組成。實(shí)現(xiàn)-一個(gè)函數(shù)，判斷aim是否是str1和str2交錯(cuò)組成。
思路：做這個(gè)題一開始腦子沒(méi)開竅，老想三維，表示str1的前i個(gè)和str2的前j個(gè)，組成aim的k個(gè)，但其實(shí)k只能是i+j，所以，dp[i][j]為str1的前i個(gè)和str2的前j個(gè)能否組成aim（i+j）。
那就簡(jiǎn)單了，要么放i要么放j，都不行就是0，有一個(gè)可以就是1.
問(wèn)題8：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)相同前后綴，前綴不包括最后一個(gè)字符，后綴不包括第一個(gè)字符。
注意看kmp的next數(shù)組思想。先看下面的再看這個(gè)
https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/82492803
問(wèn)題9：給串a(chǎn)和b，判斷b是否在a中出現(xiàn)，若出現(xiàn)輸出第一次出現(xiàn)的位置。
8和9看kmp詳解：https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79822446
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的字符串上的简单动态规划的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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