動(dòng)態(tài)規(guī)劃 Dynamic Programming DP

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準(zhǔn)則

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的本質(zhì)，是對(duì)問題狀態(tài)的定義和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的定義。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是通過拆分問題，定義問題狀態(tài)和狀態(tài)之間的關(guān)系，使得問題能夠以遞推（或者說分治）的方式去解決。

如何拆分問題，才是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心。

而拆分問題，靠的就是狀態(tài)的定義和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的定義。

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以LIS為例，重新定義這個(gè)問題：

給定一個(gè)數(shù)列，長(zhǎng)度為N，

設(shè)F_{k}為：以數(shù)列中第k項(xiàng)結(jié)尾的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度.

求F_{1}..F_{N} 中的最大值.

對(duì)于F_{k}來講，F_{1} .. F_{k-1}都是F_{k}的子問題：因?yàn)橐缘趉項(xiàng)結(jié)尾的最長(zhǎng)遞增子序列（下稱LIS），包含著以第1..k-1中某項(xiàng)結(jié)尾的LIS。

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上述的新問題F_{k}也可以叫做狀態(tài)，定義中的“F_{k}為數(shù)列中第k項(xiàng)結(jié)尾的LIS的長(zhǎng)度”，就叫做對(duì)狀態(tài)的定義。

之所以把F_{k}做“狀態(tài)”而不是“問題” ，一是因?yàn)楸苊飧瓎栴}中“問題”混淆，二是因?yàn)檫@個(gè)新問題是數(shù)學(xué)化定義的。

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上述狀態(tài)定義好之后，狀態(tài)和狀態(tài)之間的關(guān)系式，就叫做狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

比如，對(duì)于LIS問題，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

以第k項(xiàng)結(jié)尾的LIS的長(zhǎng)度是：保證第i項(xiàng)比第k項(xiàng)小的情況下，以第i項(xiàng)結(jié)尾的LIS長(zhǎng)度加一的最大值，取遍i的所有值（i小于k）。

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a. “緩存”，“重疊子問題”，“記憶化”

這三個(gè)名詞，都是在闡述遞推式求解的技巧。以Fibonacci數(shù)列為例，計(jì)算第100項(xiàng)的時(shí)候，需要計(jì)算第99項(xiàng)和98項(xiàng)；在計(jì)算第101項(xiàng)的時(shí)候，需要第100項(xiàng)和第99項(xiàng)，這時(shí)候你還需要重新計(jì)算第99項(xiàng)嗎？不需要，你只需要在第一次計(jì)算的時(shí)候把它記下來就可以了。上述的需要再次計(jì)算的“第99項(xiàng)”，就叫“重疊子問題”。如果沒有計(jì)算過，就按照遞推式計(jì)算，如果計(jì)算過，直接使用，就像“緩存”一樣，這種方法，叫做“記憶化”，這是遞推式求解的技巧。這種技巧，通俗的說叫“花費(fèi)空間來節(jié)省時(shí)間”。都不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的本質(zhì)，不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心。

b. “自上而下”，“自下而上”

“遞歸”：遞歸是遞推式求解的方法，連技巧都算不上。

怎么實(shí)現(xiàn)dp？答：兩種常用的方法。（僅僅涉及一般問題）?????

?1. 自下而上：通過正向的loop，求出所有狀態(tài)對(duì)應(yīng)的值，然后找出max或者min。???????????? 優(yōu)缺點(diǎn)：速度慢，但是相對(duì)節(jié)省空間。?????

2. 自上而下：通過遞歸的方法，需要求解f(x)，則必須知道f(y)，要知道f(y)，必須求f(z).??????????? 優(yōu)缺點(diǎn)：速度快，只用算需要的值，但是要調(diào)用堆棧，浪費(fèi)空間。

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c. "無后效性"，“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”

上述的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中，等式右邊不會(huì)用到下標(biāo)大于左邊i或者k的值，這是"無后效性"的通俗上的數(shù)學(xué)定義，符合這種定義的狀態(tài)定義，我們可以說它具有“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”的性質(zhì)，在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中我們要做的，就是找到這種“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”。

每個(gè)階段的最優(yōu)狀態(tài)可以從之前某個(gè)階段的某個(gè)或某些狀態(tài)直接得到

這個(gè)性質(zhì)叫做最優(yōu)子結(jié)構(gòu)；

而不管之前這個(gè)狀態(tài)是如何得到的

這個(gè)性質(zhì)叫做無后效性。

在對(duì)狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的定義過程中，滿足“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”是一個(gè)隱含的條件（否則根本定義不出來）。

d. 關(guān)于復(fù)雜度的分析

時(shí)間復(fù)雜度O （狀態(tài)數(shù) * 每個(gè)狀態(tài)下所對(duì)應(yīng)的決策數(shù)）。

空間復(fù)雜度O （狀態(tài)數(shù)）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划做多了以后，总结的相关知识的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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