隨機變量函數(shù)變換

本文介紹一維隨機變量函數(shù)變換，參考文獻：https://wenku.baidu.com/view/619f74ac3186bceb19e8bbd0.html

變換$T$作用于隨機變量$X$，產(chǎn)生隨機變量$Y$.
$$T:X?>Y或者寫為y=T(x)$$

如果$X與Y$之間的關(guān)系是單調(diào)的，并且存在逆映射：
$$T^{?1}:Y?>X或者寫為x=T^{?1}(y)$$

利用X的概率密度$f_X(x)$求Y的概率密度$f_Y(y)$
$$P_Y(y)=P[Y\le y]=P[T(X)\le y]=P[X\le T^{?1}(y)]={\int }_{?\infty }^{T^{?1}(y)}{f}_X(x)dx$$

上式兩邊對$y$求導(dǎo)(變上限函數(shù)求導(dǎo)+復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{d{T}^{?1}(y)}{dy}$$

因為$x=T^{?1}(y)$，所以上式可以改寫為：
$$\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{dx}{dy}$$

又因為$y=T(x)$對$x$求導(dǎo)：$\frac{dy}{dx}=T(x{)}^{\prime }$，所以反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：$(T^{?1}{)}^{\prime }=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$

綜上：
$$f_Y(y)=\frac{d{P}_Y(y)}{dy}=f_X(T^{?1}(y))\frac{1}{T(x{)}^{\prime }}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的学点数学(1)-随机变量函数变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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