【相關(guān)閱讀】

【初中數(shù)學(xué)】反比例函數(shù)策略之一 ——數(shù)形結(jié)合

反比例函數(shù)策略(二)

——構(gòu)造方程法

(王 橋)

上一次，咱們探討了解決反比例函數(shù)的策略一——數(shù)形結(jié)合，本節(jié)課我們繼續(xù)反比例函數(shù)的策略(二)——構(gòu)造方程法。

構(gòu)造方程法，在《春季攻勢(shì)》第3講有專門的講述，咱們今天重點(diǎn)討論下解決反比例函數(shù)的問題時(shí)，常用的“構(gòu)造方程”策略。先看例題：

例1、如圖1，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1，0)，(0，2)，C、D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=k/x(x＜0)的圖象上，則k等于?????????.——選自《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》——反比例函數(shù)中的面積問題

解析：欲求k，必求點(diǎn)C或點(diǎn)D的坐標(biāo)；遇坐標(biāo)，“做雙垂”(是不是咱上回書說到的“數(shù)形結(jié)合”？)，如圖2，作CE⊥y軸于點(diǎn)E，作DF⊥x軸于點(diǎn)F——等等，咱干脆構(gòu)造“類弦圖”吧——如圖3......

方法一：特值法之——跟著感覺取特值(詳見《沖刺十招》之第1招“絕境逢生用特值”)

???數(shù)學(xué)直覺1：△DFA≌△BEC，△DMC≌△BOA；

???數(shù)學(xué)直覺2：△DFA∽△BOA∽△BEC∽△DMC；

???因?yàn)镺A=1，OB=2，BC=2AB，則BE=DF=2OB=4，EC=AF=2OA=2，∴C(-2，6)，D(-3，4)，則k=-12——偷偷的看了標(biāo)準(zhǔn)答案，居然正確！

? 方法二：構(gòu)造方程法

???如果說上面的“特值法”是屬于不走尋常路的“特法”，還讓我們有點(diǎn)忐忑不安的話(僅僅是感覺啊？三角形真的全等？相似？——但秒殺的感覺還是很爽的！！！)，咱們用“通法”——構(gòu)造方程法

???見未知，設(shè)未知，找等量，造方程！而對(duì)于反比例函數(shù)來說，根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)為定值k構(gòu)造方程可是“通法”啊！

? ? ??我們先搞定全等問題。

如果您的學(xué)生知道“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，這兩條邊相等或互補(bǔ)”，則易知∠DAF=∠BCE，則根據(jù)“AAS”易證△DFA≌△BEC，同理△DMC≌△BOA。

如果這條性質(zhì)您的學(xué)生還不知道，沒關(guān)系，如圖4，延長(zhǎng)DA，交y軸于點(diǎn)N，則易證明∠FDA=∠ONA=∠EBC，則易證明△DFA≌△BEC，同理△DMC≌△BOA。

那么，這些三角形是否相似呢？不能再靠“感覺了”！

? ??? 見未知，設(shè)未知，找等量，造方程！

如圖5，不妨設(shè)AF=CE=a，DF=BE=b，則點(diǎn)C(-a，b+2)，D(a+1，-b)。

根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)為定值k構(gòu)造方程得：-a(b+2)=-b(a+1)，整理得b=2a，則BE:EC=BO:AO，則△BEC∽△BOA。再根據(jù)BC=2AB，得相似比為2:1，則a=2，b=4，則C(-2，6)，D(-3，4)，k=-12.

再來一道：

例2、(2010武漢)如圖6，直線y=-√3x+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=k/x在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)B、C，且AB·AC=4，則k=???????????。——選自《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》——反比例函數(shù)中的常見模型

??解析：這道題目，若按照常規(guī)的解法，還是比較麻煩(前幾天還有個(gè)網(wǎng)友在問這道題目的解法)的。觀察到直線y=-√3x+b與y軸交于點(diǎn)A，不妨設(shè)直線y=-√3x+b與x軸的交點(diǎn)為D，則易知∠ADO=30°。則OA:OD:AD=1：√3：2。根據(jù)《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》之——“反比例函數(shù)中的常見模型”中提到的策略，如圖7，則AB=CD(證明略)。

觀察到題目中的條件：AB·AC=4，根據(jù)“斜化正”的基本策略，分別過點(diǎn)B、C作x軸和y軸的垂線BE、BF，CM、CN。因?yàn)锳B=CD，則易證△ABF≌△CDM，不妨設(shè)CM=NO=AF=a，則BF=OE=MD=√3a，AB=CD=2a。若設(shè)FN=BP=b，則PC=b，BC=2b。因?yàn)锳B·AC=4，即2a·2(a+b)=4a(a+b)=4，∴a(a+b)=1。則k=BF·BE=√3a·(a+b)=√3.

評(píng)注：把未知的設(shè)出來，根據(jù)題目中的條件構(gòu)造方程——這里指“2a·2(a+b)=4a(a+b)=4”，再根據(jù)反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)的乘積為定值k的事實(shí)進(jìn)行整體代換，這種“設(shè)而不求”“整體代換”的策略很耐人尋味。

下面這兩道題，咱們下去練練，體會(huì)一下“構(gòu)造方程法”的妙處！系統(tǒng)的“構(gòu)造方程法”的講解，請(qǐng)參閱一輪培優(yōu)教材《春季攻勢(shì)》第3講——構(gòu)造方程法！

1、(2018遵義)如圖8，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠OAB=30°，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6/6(x＞0)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為(　　)——選自《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》——反比例函數(shù)與特殊的幾何圖形

? ?? A．y=-6/x ???B．y=-4/x??C．y=-2/x ??D．y=2/x

2、如圖9，兩個(gè)反比例函數(shù)y1=k1/x1和y2=k2/x2(其中k₁＞0＞k₂)在第一象限內(nèi)的圖象是C₁，第二、四象限內(nèi)的圖象是C₂，設(shè)點(diǎn)P在C₁上，PC⊥x軸于點(diǎn)M，交C₂于點(diǎn)C，PA⊥y軸于點(diǎn)N，交C₂于點(diǎn)A，AB∥PC，CB∥AP相交于點(diǎn)B，則四邊形ODBE的面積為(　　)——選自《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》——反比例函數(shù)中的面積問題

A.?|k1﹣k2| ?????B.k1/?|k2|?????????C.?|k1?k2|??????D.K₂²/k₁?

3、如圖10—1，已知直線y=1/2x與雙曲線y=k/x交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．(1)求k的值；(2)如圖10—2，過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=k/x于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在第一象限且在點(diǎn)A的左邊)，當(dāng)四邊形ACBD的面積為24時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．——選自《沙場(chǎng)秋點(diǎn)兵》——反比例函數(shù)中的常見模型

【來源】 播睿智數(shù)學(xué)。

【相關(guān)閱讀】(點(diǎn)擊藍(lán)色字體查看)

許興華——從有爭(zhēng)議的y=5log6(x)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)談起

趙振華——剖析一道強(qiáng)基培訓(xùn)試題的解法

彭西東——拋物線最好題源：阿基米德三角形

中科院席南華院士：數(shù)學(xué)的意義

【中考研究】“飛魚模型” ——相似三角形的一個(gè)常見二級(jí)模型

【廣州中考】2001年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷及詳細(xì)解答

【初中數(shù)學(xué)】等角的存在性問題

【初中數(shù)學(xué)】二次函數(shù)之正方形存在性問題

【初中數(shù)學(xué)】動(dòng)態(tài)演示：旋轉(zhuǎn)變換之捆綁變換

【中考數(shù)學(xué)】精彩紛呈的一題多解

【中考數(shù)學(xué)】2020中考數(shù)學(xué)相似模型大全

【初中數(shù)學(xué)】動(dòng)態(tài)演示：旋轉(zhuǎn)變換之捆綁變換

【中考研究】24道最新中考數(shù)學(xué)壓軸題詳細(xì)解析

【初中數(shù)學(xué)】利用一元二次方程解實(shí)際問題

【初中數(shù)學(xué)】"燕尾模型解決面積問題"引發(fā)的思考

初高中銜接：因式分解的13種方法，必須掌握！

【投稿須知】公眾號(hào)《許興華數(shù)學(xué)》誠(chéng)邀全國(guó)各地中小學(xué)數(shù)學(xué)教師、教研員和數(shù)學(xué)愛好者熱情投稿！來稿時(shí)請(qǐng)注意以下五點(diǎn)：(1)來稿請(qǐng)注明真實(shí)姓名、工作單位、聯(lián)系方式(無具體工作單位和真實(shí)姓名的投稿，一般都不會(huì)采用)。

(2)來稿一般要求同時(shí)用word文檔和PDF格式的電子稿件(防止不同版本的Word打開時(shí)出現(xiàn)亂碼)。另外，也接受少數(shù)著名教師的手寫稿(手寫稿必須清晰可讀)。

(3)每篇文章請(qǐng)認(rèn)真審查復(fù)核，防止錯(cuò)誤發(fā)生，來稿文責(zé)自負(fù)。如有抄襲，則有可能被舉報(bào)并受到有關(guān)著作版權(quán)部門的追責(zé)。
(4)投稿郵箱：chinamatha@163.com；或加主編微信xuxinghua168投稿.

(5)本公眾號(hào)對(duì)優(yōu)秀作者和名師一般會(huì)附上“作者簡(jiǎn)介”，以讓廣大讀者更好地了解作者的研究成果和方向，以便進(jìn)一步學(xué)習(xí)作者的相關(guān)數(shù)學(xué)思想或解題方法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的知道一点怎么设直线方程_【初中数学】反比例函数策略（二） ——构造方程法...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。