矩陣A零度空間Ax=0解決方案集合。
求零空間：矩陣A消除主要變量獲得和自由變量；分配給自由變量值獲得特殊的解決方案；特別的解決方案，以獲得零空間線性組合。

如果矩陣例如，下面的：

對矩陣A進行高斯消元得到上三角矩陣U。繼續化簡得到最簡矩陣R：

因為方程Ax=0的右側是零向量，所以僅僅對矩陣A進行消元不會影響解,因此不須要增廣矩陣，所以有：

從上面的高斯消元的結果能夠看出，矩陣A的秩為2，當中第1，3列為主元列，2，4列為自由列，相應于方程主來說，形式轉變例如以下：

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從上式能夠看出。x2,x4是自由變量，我們能夠任意賦值。x2=0,x4=1。x2=1,x4=0能夠分別得到兩個特解（幾個自由變量就有幾個特解）：

然后我們將兩組特解進行線性組合就得到了矩陣A的零空間：

上面我們從數值解的角度描寫敘述了矩陣零空間的求法。以下從公式角度分析：
上面我們經過消元（行變換，不改變行空間和零空間。僅僅改變列空間）得到了最簡形式R。

我們將R經過列變換得到例如以下矩陣：
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我們能夠對方程式作例如以下變形：

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我們之所以進行上述變換。是為了有更好的表示形式（不進行列變換也行，可是要記住哪一列是單位矩陣I中的。哪一列是自由變量矩陣F中的）：

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這樣我們代入方程式能夠得到零空間矩陣：

從上面的推導能夠看出，得到的零空間矩陣的每一列就是我們前面的特解(注意要變換順序！交換第2。3行,結果便和前面同樣)。因此，我們能夠從通過消元法得到最簡式R。然后就能夠直接得到零空間矩陣，則零空間就是零空間矩陣各列向量的線性組合。而不須要像前面那樣先給x2,x4賦值，然后回代到方程中得到兩個特解。從而得到矩陣的零空間。

以下再舉一例：

因為R本來就具有非常好的形式。就不用進行列變換了：

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于是通過解方程得到零空間矩陣：

注：最簡矩陣R和零空間矩陣x在MATLAB中能夠分別用命令rref(A)。null(A,'r')得到

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40039373

作者：nineheadedbird

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總結

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