引入

線性規劃問題(松弛問題)

圖解法:
使用圖解法求出最優解,再使用四舍五入求出的整數解不滿足條件

完全枚舉法(窮舉法):找出集合內所有滿足條件的整數點,再帶入不等式中,看是否有最優解

分支限界法

說明:
松弛問題:線性規劃問題
ILP:整數規劃,在線性規劃的基礎上對決策變量進行取整
所以線性規劃無可行解則整數規劃也無可行解

增加約束條件,一個個來,一次增加一個
對原始結果進行向上取整 [4.6]=5
對原始結果進行向下取整 [4.6]=4

流程:
如果添加完約束之后仍然沒有找到整數解,那么此時分支限界法已經不能解決此問題了

案例

整數規劃的最優解只是針對決策變量x的,與目標值Z無關
所以x1=4;x2=1;z=14.3(是整數規劃的最優解)
1)當增加了x1<=3的條件之后,得出的結果中出現了非整數x2=2.67;所以此時還需要對x2向下取整與向上取整,看結果對比

判斷:
得到目標值高的先進行分支

matlab代碼

branchbound.m

function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)% 分支定界法求解整數規劃 % f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub與線性規劃相同 % I為整數限制變量的向量 % x為初始解，fval為初始值options = optimset('display','off'); [x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);%遞歸中的最終退出條件 %無解或者解比現有上界大則返回原解 if status0 <= 0 || fval0 >= boundnewx = x;newfval = fval;newbound = bound;status = status0;return; end%是否為整數解,如果是整數解則返回 intindex = find(abs(x0(I) - round(x0(I))) > e); if isempty(intindex) %判斷是否為空值newx(I) = round(x0(I));newfval = fval0;newbound = fval0;status = 1;return; end%當有非整可行解時，則進行分支求解 %此時必定會有整數解或空解 %找到第一個不滿足整數要求的變量 n = I(intindex(1)); addA = zeros(1,length(f)); addA(n) = 1; %構造第一個分支 x<=floor(x(n)) A = [A;addA]; B = [B,floor(x(n))];%向下取整 [x1,fval1,status1,bound1] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e); A(end,:) = []; B(:,end) = []; %解得第一個分支，若為更優解則替換，若不是則保持原狀status = status1; if status1 > 0 && bound1 < boundnewx = x1;newfval = fval1;bound = fval1;newbound = bound1; elsenewx = x0;newfval = fval0;newbound = bound; end%構造第二分支 A = [A;-addA]; B = [B,-ceil(x(n))];%向上取整 [x2,fval2,status2,bound2] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e); A(end,:) = []; B(:,end) = [];%解得第二分支，并與第一分支做比較，如果更優則替換 if status2 > 0 && bound2 < boundstatus = status2;newx = x2;newfval = fval2;newbound = bound2; end

intprog.m

function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) %整數規劃求解函數 intprog() % 其中 f為目標函數向量 % A和B為不等式約束 Aeq與Beq為等式約束 % I為整數約束 % lb與ub分別為變量下界與上界 % x為最優解，fval為最優值 %例子: % maximize 20 x1 + 10 x2 % S.T. % 5 x1 + 4 x2 <=24 % 2 x1 + 5 x2 <=13 % x1, x2 >=0 % x1, x2是整數 % f=[-20, -10]; % A=[ 5 4; 2 5]; % B=[24; 13]; % lb=[0 0]; % ub=[inf inf]; % I=[1,2]; % e=0.000001; % [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e) % x = 4 1 v = -90.0000 s = 1% 控制輸入參數 if nargin < 9, e = 0.00001;if nargin < 8, ub = []; if nargin < 7, lb = []; if nargin < 6, Beq = []; if nargin < 5, Aeq = [];if nargin < 4, I = [1:length(f)];end, end, end, end, end, end%求解整數規劃對應的線性規劃,判斷是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options); if exitflag < 0disp('沒有合適整數解');x = x0;fval = fval0;status = exitflag;return; else%采用分支定界法求解bound = inf;[x,fval,status] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e); end

test.m

%例子1 % f = [-40 -90];%A = [9 7;7 20];%B = [56 70]; % lb = [0 0]'; %例子2f = [-20 -10];A = [5 4;2 5];B = [24 13];lb = [0 0];[x,fval,status] = intprog(f,A,B,[1 2],[],[],lb)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模 分支限界算法求解整数规划原理以及编程实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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