我們知道，在一個容量為n的數據集合中尋找一個最大數，不管用什么樣的比較算法，至少要比較n-1次，就算是用競標賽排序也得比較n-1次，否則你找到的就不能保證是最大的數。那么，在一個容量為n的數據集合中同時尋找最大數和最小數的最小比較次數是多少呢？
???? 從一個容量為n的數據集合中同時找到最大數和最小數的最優方法是：首先讓所有的元素參與兩兩比較，這樣總共比較了n/2次，最大數肯定在勝者組中，最小數肯定在敗者組中；然后從容量為n/2的勝者組中找到最大的數，最少要比較n/2 - 1次；同理，從容量為n/2的敗者組中找到最小的數，最少要比較n/2 - 1次。所以總共需要比較 (3n/2) - 2次。以上假設n為偶數。奇數同理。

這是同時尋找最大數和最小數的最優算法。

?

??? 那么，我們要從一個容量為n的數據集（假設該數據集是一個集合，即沒有相同的元素）中找到第二大元素需要多少次比較呢？
??? 一種習慣的方法是：先找出最大的元素，這需要比較n-1次；然后從剩下的n-1個元素中找到最大的，這個元素就是我們要找的第二大元素，這需要比較n-2次。做一總共比較2n-3次。
但是，
??? 還有一個更優的方法：
（1） 我們考慮淘汰賽的比較法，淘汰賽結束后，找出冠軍我們需要n-1次比較；如下圖所示，找到12需要比較7次。
（2） 此時我們要考慮到，亞軍應該存在于敗給冠軍的這些選手中（否則，每個元素都至少有兩個元素比它大），由于與冠軍比過的元素個數為┌log2n┐，從這些元素中找到最大值需要比較┌log2n┐ - 1次；如下圖所示，亞軍應該在10,11,4這三個元素中。否則，如果亞軍是5，那么冠軍12比它大，與它比較過的10也比它大，至少兩個元素大于5，所以5肯定不是亞軍的候選者。

?

（3）從而找出亞軍要比較n-1+┌log2n┐-1 = n-2+┌log2n┐次比較。這個算法是尋找亞軍的最優算法。

分治與遞歸——最大值和次大值的最優算法

問題描述：輸入n個數，最壞情況下用?n + logn - 2?次比較找出當中的最大值和次大值。

算法思想：根據題意出現logn，則肯定用到二分或者堆的思路，但是輸入的數沒有經過排序，而且題目要求的計算量也不允許排序。這樣，就肯定會用到類似堆的思路，但是直接構造堆等同于排序。堆的思想跟競標賽類似，都是父節點>=（<=）子節點。如果父節點都是從子節點而來，這樣就是競標賽；如果不是，這樣就是堆。既然不能排序又不能構造堆，那就只能用競標賽的思想，通過二分來進行最多logn次競賽，選出最大值（冠軍），而次大值（亞軍）只能在與最大值的比較中被淘汰（亞軍的實力只可能輸給冠軍），故在所有被最大值（冠軍）淘汰的數值中選取次大值，最多也是logn次比較，滿足題意（由于題意只限制了比較次數，故實現過程并沒有考慮時間復雜度和空間復雜度）

代碼實現：

//最大值和次大值的最優算法,數組中可能存在重復元素,不能處理最大值是0的情況

#include <stdio.h>

#define N 1000

int m[2*N];

int num[2*N];

int biaoji[N];

int bigger(int i)

{

????if(num[i]>num[i+1])

????{

????????biaoji[m[i+1]]=num[i];

????????return i;

????}

????else

????{

????????biaoji[m[i]]=num[i+1];

????????return i+1;

????}

}

int work(int a,int b)

{

????int i,j;

????while(a<b)

????{

????????for(i=a;i<b;i+=2)

????????{

????????????j=bigger(i);

????????????num[i/2]=num[j];

????????????m[i/2]=m[j];

????????}

????????if(i==b)

????????{

????????????num[i/2]=num[i];

????????????m[i/2]=m[i];

????????}

????????a=a/2;

????????b=b/2;

????}

????return num[a];

}

int work2(int l,int max)

{

????int i,flag=1;

????int bmax;

????for(i=l;i<2*l;++i)

????{

????????if(biaoji[i-l]==max)

????????{

????????????if(flag)

????????????{

????????????????flag=0;

????????????????bmax=num[i];

????????????}

????????????else if(bmax<num[i])

????????????????bmax=num[i];

????????}

????}

????return bmax;

}

int main()

{

????int i,l;

????int max,bmax;

????int f,start;

????while(true)

????{

????????printf("please putin the length:\n");

????????scanf("%d",&l);

????????if(l==0)

????????????break;

????????printf("please putin num[]:\n");

????????for(i=l;i<2*l;++i)

????????????scanf("%d",&num[i]);

????????for(i=l;i<2*l;++i)

????????????m[i]=(i-l);

????????max=work(l,2*l-1);

????????bmax=work2(l,max);

????????printf("the max is %d and the bmax is %d\n",max,bmax);

????}

?

????return 0;

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的同时寻找最大数和最小数的最优算法 第二大数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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