概率論與數理統計實驗

蒲豐投針與蒙特卡羅法

班級 應數12級01班

學號 2012444086

姓名 張旭東

蒲豐投針與蒙特卡羅法

張旭東 2012444086

(重慶科技學院 數學與應用數學 ，重慶 沙坪壩)

【摘 要】 通過設計一個投針實驗使這個事件的概率和未知量π有關，然后通過重復實驗，以頻率估計概率，即可求得未知參數π 的近似解。這種方法稱為隨機模擬法，也稱為蒙特卡羅法。一般來說，實驗次數越多所得的近似值就越接近真值。可以利用MATLAB來大量重復地模擬所設計的隨機實驗。

【關鍵詞】 隨機模擬；投針實驗；重復實驗

1 引言

蒲豐投針問題是由法國科學家蒲豐(Buffon)在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的問題，它是第一個用幾何形式表達概率問題的例子，其結論具有很強的理論與實際意義。蒲豐針問題的解決不僅較典型的反應了集合概率的特征及處理方法，而且還可以由此領略到從“概率土壤”上開出的一朵瑰麗的鮮花——蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法。

蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，也稱計算機模擬方法，是一種基于“隨機數”的計算方法，大數定律為近年來發展迅速的隨機計算機和隨機模擬方法提供了理論基礎。

MATLAB是一個適合多學科，具有多種工作平臺的功能強大的大型軟件。MATLAB已經成為線性代數、自動控制理論、數理統計、數字信號處理、時間序列分析、動態系統仿真等高級課程的進本教學工具，Matlab隨機數發生器的種類豐富且用法簡便。

本文介紹了利用隨機模擬方法和大數定律的相關理論解決蒲豐投針問題計算π的近似值。

2 有關數學實驗的有關基礎

定理(貝努力大數定律) 設是n重貝努力實驗中事件A出現的次數，P是事件A每次實驗中出現的概率，即P(A)=p,則對任意的>0，有

3 實驗

蒲豐投針問題

在平面上畫有等距離的一些平行線，平行線間的距離為a(a>0)，向平面上隨機投一長為l(l

解 以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角，見圖1.2.易知樣本空間滿足

由這兩式確定平面上的夜歌矩形，這就是樣本空間，其面積為。這時針與平行線相交(記為事件A)的充要條件是

由這個不等式表示的區域是圖1.2中的陰影部分。

圖1.1

圖1.2

由于針是向平面任意投擲的，所以由等可能性知這是一個概率的問題。由此得

如果l,a為已知，則以π的值代入上式即可計算得P(A)之值。反之如果已知P(A)的值，則也可以利用上式去求π，而關于P(A)的值，可以從實驗中獲得頻率去近似它：即投擲擲其中針與平行線相交n次，則頻率n/N可作為P(A)的估計值，于是由

可得

歷史上有一些學者曾親自做過這個實驗，下表記錄了他們的實驗結果

實驗者 年份 針長 投擲次數 相交次數 π的近似值

Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596

Smith 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554

DeMorgan.c 1860 1.0 600 382.5 3.137

Fox 1884 0.75 1030 489 3.1595

Lazzerini 1901 0.83 3408 1808 3.1415929

Reina 1925 0.5419 2520 859 3.1795

歷史上有一些學者曾親自做過這個實驗，下表記錄了他們的實驗結果

可以采用MATLAB軟件進行模擬實驗，即用MATLAB編寫程序來進行“蒲豐投針實驗”。

MATLAB編程

clear ('n')

clear('a')

clear('x')

clear('f')

clear ('y')

clear ('m')

disp('本程序用來進行投針實驗的演示，a代表兩線間的寬度，針的長度l=a/2，n代表實驗次數');

a=input('請輸入a：');

n=input('請輸入n：');

x=unifrnd

總結

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