怎樣用畫筆畫光滑曲線-兩點(diǎn)三次埃爾米特插值法（轉(zhuǎn)自http://blog.sina.com.cn/s/blog_a8192bdd010105rx.html）

求幾點(diǎn)（3點(diǎn)以上）之間的光滑曲線是有很多辦法的，如果需要曲線通過目標(biāo)點(diǎn)，可以用經(jīng)典的三次樣條曲線，如果不需要曲線通過目標(biāo)點(diǎn)，可以使用貝塞爾曲線。 例如，用三次樣條曲線，只要有4點(diǎn)，并且確定兩邊界點(diǎn)的斜率，既可以求得通過4點(diǎn)的光滑曲線，曲線在各端點(diǎn)處有2階光滑性。至于三次樣條曲線的公式及算法，可以隨便買一本《數(shù)值分析》研究一下。
但我這幾天遇到的問題是，通過畫筆繪制曲線時(shí)，要繪制成光滑曲線。 畫筆的繪制同已知幾點(diǎn)求光滑曲線不同，畫筆要求的是實(shí)時(shí)繪制，也就是說畫筆走到哪就要把光滑曲線畫到哪，這里如果使用三次樣條曲線，局限性就在于，以下圖為例：
當(dāng)畫筆走到B時(shí)，只有AB兩個(gè)端點(diǎn)，這時(shí)就要畫出AB之間的曲線（實(shí)時(shí)性），而三次樣條曲線要求有3點(diǎn)以上，這時(shí)就無法通過三次樣條曲線繪制出AB之間的光滑曲線。 其實(shí)可以變通一下，在畫筆走到C的時(shí)候（而不是走到B時(shí)）才畫出曲線，也就是曲線和畫筆的位置有一步的延遲，這樣走到C的時(shí)候就可以確定ABC三點(diǎn)。 但是這里還存在一個(gè)問題，三次樣條曲線需要制定兩端點(diǎn)的斜率，當(dāng)畫筆走到C時(shí)，如果要畫出ABC之間的光滑曲線，需要知道A點(diǎn)的斜率和C點(diǎn)的斜率，當(dāng)畫筆走到D時(shí)，需要知道B點(diǎn)的斜率和D點(diǎn)的斜率。 其實(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)這種（不是最后一個(gè)端點(diǎn)）的斜率還是可以給出的，但C點(diǎn)和D點(diǎn)這種最后一個(gè)端點(diǎn)的斜率缺無法給出，因?yàn)楫?dāng)畫筆走到C時(shí)，無法確定下一個(gè)D點(diǎn)的位置，所以無法確定CD的斜率，也就沒有辦法確定C點(diǎn)的斜率。 也曾考慮過當(dāng)畫筆走到D點(diǎn)時(shí)再繪制前3點(diǎn)的曲線，但是如果這樣，那么假設(shè)存在下一點(diǎn)E，那么走到E的時(shí)候，ABC之間的曲線已經(jīng)存在，這個(gè)時(shí)候僅需要繪制CD之間的曲線，又和以開始的繪制3點(diǎn)之前曲線有沖突。延伸下去考慮，其實(shí)在D點(diǎn)以后，問題已經(jīng)演變?yōu)楫嬃咙c(diǎn)之間光滑曲線，因此把前3個(gè)點(diǎn)的問題也轉(zhuǎn)化為2點(diǎn)之間光滑曲線的問題。 可以考慮的方法是： 1、前提條件是曲線永遠(yuǎn)比畫筆延遲一步(這在實(shí)際繪制過程中用戶是完全察覺不到的)。 2、當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，繪制AB的曲線，走到D點(diǎn)時(shí)，繪制BC的曲線。 3、兩點(diǎn)之間的光滑曲線使用“兩點(diǎn)三次埃爾米特”公式求曲線方程。 由于兩點(diǎn)三次埃爾米特方程也需要給定兩端點(diǎn)的斜率，因此問題又回到求斜率的問題上。 繼續(xù)思考一下，假設(shè)A點(diǎn)是起始點(diǎn)，那么畫筆走到C時(shí)要繪制AB兩點(diǎn)之間光滑曲線，需要給定A點(diǎn)和B點(diǎn)的斜率，由于A點(diǎn)是開始點(diǎn)，所以給定斜率比較麻煩（也不是不可能），可以將問題轉(zhuǎn)化為起始點(diǎn)A的斜率等于直線AB的斜率。 那么B點(diǎn)的斜率是什么樣呢，由圖可知B點(diǎn)斜率介于AB斜率和BC斜率之間，所以可以近似取為AB和BC斜率的一半（AB和BC的中間線）。這樣就可以通過兩點(diǎn)三次埃爾米特公式計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的曲線了（實(shí)際上根據(jù)這個(gè)方法繪制的AB間為直線）。 繼續(xù)走到D點(diǎn)，走到D點(diǎn)時(shí)需要繪制BC點(diǎn)的曲線，由于在C點(diǎn)時(shí)已經(jīng)計(jì)算了B點(diǎn)斜率為AB、BC的中間線，所以B點(diǎn)斜率已知，同樣方法可以取C點(diǎn)斜率為BC、CD中間線為C點(diǎn)斜率，這樣已知BC兩點(diǎn)斜率再通過兩點(diǎn)三次埃爾米特公式即可求得BC之間曲線方程。 以此類推可以跟蹤畫筆繪制出光滑曲線。 本方法的局限性有3： 1、B點(diǎn)處1階、2階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)（因?yàn)锳B為直線，而BC為三次曲線），可以通過近似給得A點(diǎn)斜率方法彌補(bǔ)，不做贅述。 2、曲線始終滯后畫筆一個(gè)步驟（這在實(shí)際中用戶無法感覺到）。 3、由于中間端點(diǎn)的斜率始終取為兩條相交直線的中心線，所以理論上相對(duì)于三次樣條曲線不夠精確（也許光滑度和曲線形狀上欠佳）。 但實(shí)際根據(jù)以上思路實(shí)現(xiàn)之后發(fā)現(xiàn)基本上是感覺不到局限性的，所繪制曲線比較另人滿意。 由于本人水平有限，還沒有考慮出更好的方法跟蹤畫筆繪制出光滑曲線。也許本文提到的方法可以進(jìn)一步優(yōu)化。我會(huì)繼續(xù)研究。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的两点三次埃尔米特插值法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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