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魔法之龍瑪里茍斯最近在為加基森拍賣師的削弱而感到傷心，于是他想了一道數學題。
S 是一個可重集合，S={a1,a2,…,an}。
等概率隨機取 S 的一個子集 A={ai1,…,aim}。
計算出 A 中所有元素異或和，記為 x, 求 x^k 的期望。

Input
第一行兩個正整數 n, k。
以下 n 行每行一個整數，表示 ai。

Output
如果結果是整數，直接輸出。如果結果是小數（顯然這個小數是有限的），輸出精確值（末尾不加多余的 0）。

Sample Input
4 2 0 1 2 3
Sample Output
3.5

Hint
限制與約定
1≤n≤100000，1≤k≤5，ai≥0。最終答案小于 2^63 。k=1,2,3,4,5 各自占用 20% 的數據

solution

期望=概率*答案值（我一直是這么計算期望這一類題目的）

直接走正解，廢話不多說，因為我也不會引入
考慮$k=1$的情況
我們把答案值$ans$分解成二進制
如果第$i$位上為$1$，那么這個$i$就會對答案造成$1<<i$，即$2^i$的貢獻

那么我們怎么如何確定第$i$位是不是$1$呢？
很簡單，看$a$數組里面有多少個數二進制第$i$位為$1$
假設有$x$個，可以知道在這$x$個里面選擇的個數的奇偶性會影響最后$i$位是否為$1$
選擇了奇數個，異或后就是$1$，否則就是$0$
而剩下的$n?x$個數不管選不選，都不會對$i$這一位造成影響，因為這一位上面它們都是$0$

那么在$x$里面選擇個數的奇偶性的概率又分別是多少呢？這里給出一個結論

奇偶性的概率一樣，都是$\frac{1}{2}$

我盡力感性證明一下
舉個栗子$2,6,10$，二進制分別為$0010,0110,1010$
就只看從右往左數的第二位（$i=1,2^i$），都是$1$對吧。【注意從左往右第一位開始分別是$2^0,2^1...$】
接著分類討論
如果只選$0$個，有$1$種情況
如果只選$1$個，有$3$種情況
如果只選$2$個，有$3$種情況
如果只選$3$個，有$1$種情況

選偶數個的情況總數$=>$選$0$個$+$選$2$個：$1+3=4$
選奇數個的情況總數$=>$選$1$個$+$選$3$個：$1+3=4$
驚奇的一樣！！

別急，再煮個栗子$12，20，22，13$，二進制分別是$01100,10100,10110,01101$，這一次就只看從左往右數的第三位($i=2,2^i$)
如果只選$0$個，有$1$種情況
如果只選$1$個，有$4$種情況
如果只選$2$個，有$6$種情況
如果只選$3$個，有$4$種情況
如果只選$4$個，有$1$種情況
選偶數個的情況總數$=>$選$0$個$+$選$2$個$+$選$4$個：$1+6+1=8$
選奇數個的情況總數$=>$選$1$個$+$選$3$個：$4+4=8$
驚奇的又一樣！！

而且仔細看這堆數字可以自然地聯想到楊輝三角！！（其實是因為上面的情況可以看成組合數）

如果還是覺得很巧，不太有說服性，或者沒想通的，我們再另辟蹊徑
把這種奇偶選擇操作看成按燈泡開關，上圖！
已經盡力了總結一下，只要有數能負責$i$位，就會有一半的概率產生$1<<i$的貢獻

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$k=2$的情況，最高位肯定小于$33$，$i<33$
設$f[s][i]$表示當選取情況為$s$的時候，$i$這一位是$1/0$，貢獻就是$$f[s][i{]}^2=\sum _{i}f[s][i]?\sum _{j}f[s][j]=\sum _i\sum _{j}f[s][i]?f[s][j]$$
只有$i=1,j=1$才會產生上面的貢獻，即為$1<<(i+j)=2^{i+j}$
接著我們來分類討論，注意i，j表示二進制下的第i位，第j位為1/0
①：$i=0||j=0$
意思就是$i,j$至少有一個是沒有任何數可以負責的，就是沒有任何一個數的二進制在那一位上面為$1$
貢獻自然是$0$
②：$i=1\&\&j=1$
結合$k=1$的情況下，我們知道選完數后要保證$i$這一位上的值為$1$才能對答案產生影響嘛
這個概率是$\frac{1}{2}$，$j$同理，那么要讓$i,j$同時為$1$，概率就是$\frac{1}{2}?\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

但，BUT，However，unfortunately，unluckily

情況不止步于此，我們忽略掉了可能存在一些數二進制$i,j$位都為$1$
這樣的話如果選擇它，就會同步影響$i,j$，所以我們要重新再分類討論

結合$k=1$按燈泡開關的思想，直接上圖

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其實$k>=3$的情況是最簡單的，氧化鈣！！
因為答案保證$<2^{63}$，考慮第$i$位會產生貢獻，那么它對答案的影響就是$(2^i{)}^k$，除掉$k$
可以得到$i<22$，比$i$位更大的位置上一定都是$0$
很容易想嘛，假設$i=22$這位有$1$就會產生$(1<<22{)}^k$，最小的$k=3$也會炸掉$2^{63}$答案范圍
所以我們就直接暴力枚舉每一個數選與不選，生成子集$A$，然后去算期望
注意只考慮線性基里面的每一個數，因為線性基可以異或出原數組的每一個數，自然也可以異或出原數組的異或和
記線性基的個數為$m$
一共有$2^m$種情況，每一種情況都是$\frac{1}{2^m}$
用$mod=1<<m$將期望拆開算，不然會炸$unsignedlonglong$

code

#include <cstdio> #define int unsigned long long #define MAXN 100005 int n, k, ans, cnt, r; int a[MAXN], f[65], s[65]; bool vis[65];int read() {int x = 0; char s = getchar();while( s < '0' || s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s && s <= '9' )x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s - '0' ), s = getchar();return x; }void solve1() { for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans |= a[i];if( ans & 1 ) printf( "%llu.5", ans >> 1 );else printf( "%llu", ans >> 1 ); }bool check( int i, int j ) {if( ! vis[i] || ! vis[j] ) return 0;for( int t = 1;t <= n;t ++ ) {if( ( a[t] & ( 1ll << i ) ) && ! ( a[t] & ( 1ll << j ) ) )return 0;if( ( a[t] & ( 1ll << j ) ) && ! ( a[t] & ( 1ll << i ) ) )return 0;}return 1; }void solve2() {for( int i = 0;i < 33;i ++ )for( int j = 1;j <= n;j ++ )if( a[j] & ( 1ll << i ) ) { vis[i] = 1; break; }for( int i = 0;i < 33;i ++ )for(int j = i;j < 33;j ++ )if( vis[i] && vis[j] ) ans += ( 1ll << ( i + j ) );for( int i = 0;i < 33;i ++ )for( int j = i + 1;j < 33;j ++ )if( check( i, j ) ) ans += ( 1ll << ( i + j ) );if( ans & 1 ) printf( "%llu.5", ans >> 1 );else printf( "%llu", ans >> 1 ); }void calc( int val ) {int mod = 1ll << cnt;int D = 0, R = 1;for( int i = 1;i <= k;i ++ )D = D * val, R = R * val, D += R / mod, R %= mod;ans += D, r += R, ans += r / mod, r %= mod; }void dfs( int x, int val ) {if( x > cnt ) { calc( val ); return; }dfs( x + 1, val ); dfs( x + 1, val ^ s[x] ); }void solve3() {for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int val = a[i];for( int j = 21;~ j;j -- )if( ( 1ll << j ) & val )if( f[j] ) val ^= f[j];else { f[j] = val; break; }}for( int i = 0;i <= 21;i ++ )if( f[i] ) s[++ cnt] = f[i];dfs( 1, 0 );if( r ) printf( "%llu.5", ans );else printf( "%llu", ans ); }signed main() {n = read(); k = read();for( int i = 1;i <= n;i ++ )a[i] = read();if( k == 1 ) solve1();else if( k == 2 ) solve2();else solve3();return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[BZOJ 3811]玛里苟斯(线性基)尽量理解的题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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