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題意：

有一個多重集$S=\{a_1,a_2,...a_n\}$，你會從中隨機選出一個集合$S=\{b_1,b_2,...b_k\}$，這個集合的異或為$X$，求$X^k$的期望。

解析：

先考慮$k=1$的情況，如果一個二進制位$b$在某個數內出現過，那么$b$出現在最后$X$里的概率就固定為$\frac{1}{2}$。

這個很好證明，加入一個含有$b$的數前，設不出現的概率為$p$，出現的概率為$1?p$，那么$\frac{1}{2}$的概率加入$b$，$\frac{1}{2}$的概率不加入。算一下之后不出現的概率和出現的概率都變為$\frac{1}{2}$。

那么也就是說答案為所有出現過的二進制位之和除以二。

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$k=2$時，$X$的平方可以寫成$(b_k...b_1{b}_0)(b_k...b_1{b}_0)=b_k{b}_k+b_k{b}_{k?1}+...b_k{b}_1+...b_1{b}_1$。所以我們可以計算每兩個二進制位這種組合的期望，即$X$中同時存在$b_i,b_j$的概率是多少。

原先的每個數，這兩位可能的情況為：$00,01,10,11$。設其概率分別為$a,b,c,1?a?b?c$，其中$a+b=\frac{1}{2},a+c=\frac{1}{2},b=c$，推一推就會發現：

• 如果只有$00$，顯然無貢獻；
• 只有$00,11$時，和$k=1$同為$\frac{1}{2}$；
• 若存在$01$或$10$，為$\frac{1}{4}$。

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$k>2$時，由于說明答案小于$2^{63}$，所以原先的$a_i$不會很大，頂多$2^{20+k}$，所以我們可以直接枚舉所有可能的$X$（用線性基），將$X^k$除上總方案數加入答案即可（因為所有情況的概率相同）。

但是先加起來再除會爆，得操作一下。若最后的狀態數為$all$，用兩個變量維護$X^k/all$和$X^k\%all$即可。

代碼：

/** Author : Jk_Chen* Date : 2019-09-25-16.41.04*/ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL unsigned long long #define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++) #define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--) #define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define pb push_back #define pill pair<int, int> #define fi first #define se second #define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<'\n'; const LL mod=1e9+7; const int maxn=1e5+9; const int inf=0x3f3f3f3f; LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();if(last=='-')ans=-ans; return ans; } /*_________________________________________________________begin*/const int Len=64; struct linear_Bace{LL a[Len];LL& operator [](int idx){return a[idx];}LL operator [](int idx)const{return a[idx];}void insert(LL val){for(int i=Len-1;i>=0;i--){if((val>>i)&1){if(!a[i]){a[i]=val;break;}val^=a[i];}}}bool find(LL val){for(int i=Len-1;i>=0;i--){if((val>>i)&1){if(a[i]){val^=a[i];}elsereturn 0;}}return 1;} }LB;bool bit[70]; bool dBit[70][70];int main(){int n=rd(),K=rd();rep(i,1,n){LL a=rd();if(K>2){LB.insert(a);}rep(j,0,63){if(a&(1ull<<j)){bit[j]=1;rep(k,j+1,63){if(!(a&(1ull<<k))){dBit[j][k]=dBit[k][j]=1;}}}else{rep(k,j+1,63){if(a&(1ull<<k)){dBit[j][k]=dBit[k][j]=1;}}}}}if(K==1){LL sum=0;rep(i,0,63){if(bit[i])sum+=1ull<<i;}printf("%llu",sum>>1);puts((sum&1)?".5":"");}else if(K==2){LL sum=0;rep(i,0,40){if(!bit[i])continue;rep(j,0,40){if(!bit[j])continue;if(i==j){sum+=1ull<<(i+j);}else if(dBit[i][j]){sum+=1ull<<(i+j-1);}else{sum+=1ull<<(i+j);}}}printf("%llu",sum>>1);puts((sum&1)?".5":"");}else{LL sum=0,sumr=0;int ct=0;LL sta[100];rep(i,0,63){if(LB[i]){sta[++ct]=LB[i];}}rep(S,0,(1<<ct)-1){LL val=0;rep(j,1,ct){if((S>>j-1)&1)val^=sta[j];}// val^KLL div=0,remd=1;rep(_,1,K){div*=val,remd*=val;div+=remd>>ct,remd&=(1ull<<ct)-1;}sum+=div,sumr+=remd;}sum+=sumr>>ct,sumr&=(1ull<<ct)-1;printf("%llu",sum);puts(sumr?".5":"");}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【清华集训2014】玛里苟斯（数学 线性基）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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