求最大公約數是習題中比較常見的類型，下面小編會給大家提供五種比較常見的算法，記得幫忙點個贊哦！

一般來說，最大公約數的求法大概有5種

方法一：短除法

? ? ? ? 短除法是求最大公因數的一種方法，也可用來求最小公倍數。求幾個數最大公因數的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數的因數找出來，然后再找出公因數，最后在公因數中找出最大公因數。后來，使用分解質因數法來分別分解兩個數的因數，再進行運算。之后又演變為短除法。短除法運算方法是先用一個除數除以能被它除盡的一個質數，以此類推，除到兩個數的商是互質數為止。

? ? ? ? 簡單來說就是逐步找出兩個數的所有公約數，再將這些公約數累乘起來，就能得到最大公約數啦！

a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) m,n=a,b # 創建兩個變量存儲a和b t=1 # 創建t作為最大公約數的載體 for i in range(2,min(a,b)):while (a%i==0 and b%i==0):t*=i # 所有公約數累乘起來a/=ib/=i print((f"{m},{n}的最大公約數為：{t}"))

????????這種方法雖然有點麻煩，但是邏輯卻很清楚，不容易出錯。

方法二：歐幾里得算法（輾轉相除法）

????????歐幾里得算法是用來求兩個正整數最大公約數的算法。古希臘數學家歐幾里得在其著作《The Elements》中最早描述了這種算法,所以被命名為歐幾里得算法。? ? ??

????????假如需要求 1997 和 615 兩個正整數的最大公約數,用歐幾里得算法，是這樣進行的：

1997 / 615 = 3······152

615 / 152 = 4······7

152 / 7 = 21······5

7 / 5 = 1······2

5 / 2 = 2······1

2 / 1 = 2······0

????????至此，最大公約數為1

????????以除數和余數反復做除法運算，當余數為 0 時，取當前算式除數為最大公約數，所以就得出了 1997 和 615 的最大公約數 1。

? ? ? ? 明白了這其中的邏輯，我們就可以著手開始寫程序啦！

a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) # 首先要給兩數排序，保證大數除以小數 m=max(a,b) n=min(a,b) t=m%n while t!=0:m,n=n,t # 仔細觀察不難發現：每個除式的m、n是都是上一個式子的n和余數t=m%n # 更新余數 print(f"{a}和{b}的最大公約數為{n}")

? ? ? ? 當然了，遞歸方法也能實現歐幾里得算法。

def GCD(a,b):# 比較大小，保證大數除以小數if a<b:a,b=b,a# 判斷是否能整除，若能整除，直接返回被除數if a%b==0:return b# 若不能整除，則返回函數GCD，參數做相應變化else:return GCD(b,a%b) a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) gcd=GCD(a,b) print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

方法三：更相減損術

????????更相減損術是出自《九章算術》的一種求最大公約數的算法，它原本是為約分而設計的，但它適用于任何需要求最大公約數的場合。原文是：

????????可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。? ? ?

白話文譯文：

（如果需要對分數進行約分，那么）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）。如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分。

? ? ? ? 具體步驟：

第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。

第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。

則第一步中約掉的若干個2的積與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。

其中所說的“等數”，就是公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。

? ? ? ? 現在使用更相減損術求98與63的最大公約數。

解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公約數等于7。

a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) # 首先要給兩數排序，保證大數減小數 m=max(a,b) n=min(a,b) # 判斷兩數是否都是偶數，如果都是偶數就同時除2 while m%2==0 and n%2==0:m,n=m/2,n/2 t=m-n # 判斷條件是減數和差相等 while n!=t:m,n=max(n,t),min(n,t) # 每減一輪之后，都要重新判斷減數和差的大小，再次以大數減去小數t=m-n print(f"{a}和{b}的最大公約數為{n}")

方法四：窮舉法（枚舉法）

? ? ? ? 從兩個數中較小數開始，由小到大列舉，找出公約數并保證該公約數也屬于較大數，這些公約數的最大者就是最大公約數；也可以從大到小列舉，直到找出公約數后跳出循環，該公約數即是最大公約數。

a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) p,q=min(a,b),max(a,b) lst=[] for i in range(1,p+1):if p%i==0 and q%i==0:lst.append(i) gcd=max(lst) print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")#a=int(input("please input the first number：")) #b=int(input("please input the second number：")) #p,q=min(a,b),max(a,b) #gcd=0 #for i in range(p,0,-1): # if p%i==0 and q%i==0: # gcd=i # break #print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

方法五：Stein算法

????????Stein算法是一種計算兩個數最大公約數的算法，是針對歐幾里德算法在對大整數進行運算時，需要試商導致增加運算時間的缺陷而提出的改進算法。

歐幾里得算法缺陷：

????????歐幾里德算法是計算兩個數最大公約數的傳統算法，無論從理論還是從實際效率上都是很好的。但是卻有一個致命的缺陷，這個缺陷在素數比較小的時候一般是感覺不到的，只有在大素數時才會顯現出來。

????????一般實際應用中的整數很少會超過64位(當然已經允許128位了)，對于這樣的整數，計算兩個數之間的模是很簡單的。對于字長為32位的平臺，計算兩個不超過32位的整數的模，只需要一個指令周期，而計算64位以下的整數模，也不過幾個周期而已。但是對于更大的素數，這樣的計算過程就不得不由用戶來設計，為了計算兩個超過64位的整數的模，用戶也許不得不采用類似于多位數除法手算過程中的試商法，這個過程不但復雜，而且消耗了很多CPU時間。對于現代密碼算法，要求計算128位以上的素數的情況比比皆是，設計這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。

看下面兩個結論：

????????gcd(a,a)=a，也就是一個數和其自身的公約數仍是其自身。
????????gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換。特殊地，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數必然能被2整除。

????????當k與b互為質數，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是約掉兩個數中只有其中一個含有的因子不影響最大公約數。特殊地，當k=2時，說明計算一個偶數 和一個奇數的最大公約數時，可以先將偶數除以2。

????????:param a: 第一個數

????????:param b: 第二個數

????????:return: 最大公約數

def gcd_Stein(a, b):# 保證b比a小if a < b:a, b = b, aif (0 == b):return a# a、b都是偶數，除2右移一位即可if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:return 2 * gcd_Stein(a / 2, b / 2)# a是偶數if a % 2 == 0:return gcd_Stein(a / 2, b)# b是偶數if b % 2 == 0:return gcd_Stein(a, b / 2)# 都是奇數return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)a=int(input("please input the first number：")) b=int(input("please input the second number：")) gcd=int(gcd_Stein(a,b)) print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

以上就是小編總結的五種常用方法了，希望對各位有所幫助！記得點贊喔！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python求最大公约数的五种常见方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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