小結

齊次線性方程組的定義。

解集的參數向量形式。

非齊次線性方程組的解。

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齊次線性方程組

線性方程組稱為齊次的，若它可寫成$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的形式，其中$\mathbf{A}$是$m\times n$矩陣而$0$是${\mathbb{R}}^m$中的零向量。這樣的方程組至少有一個解，即$\mathbf{x}=0$（${\mathbb{R}}^n$中的零向量），這個解稱為它的平凡解。對給定方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，重要的是它是否有非平凡解，即滿足$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的非零向量$\mathbf{x}$。

齊次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有非平凡解當且僅當方程至少有一個自由變量。

確定齊次方程組$?\begin{array}{l}3x_1+5x_2?4x_3=0\\ ?3x_1?2x_2+4x_3=0\\ 6x_1+x_2?8x_3=0\end{array}$是否有平凡解，并描述它的解集。
解：令$\mathbf{A}$為該方程組的系數矩陣，用行化簡算法把增廣矩陣$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\end{array}\right]$化為階梯形
$?\begin{array}{cccc}3& 5& ?4& 0\\ ?3& ?2& 4& 0\\ 6& 1& ?8& 0\end{array}?$～$?\begin{array}{cccc}3& 5& ?4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 9& 0& 0\end{array}?$～$?\begin{array}{cccc}3& 5& ?4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?$
因為$x_3$是自由變量，故$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有平凡解（對$x_3$的每一個選擇都有一個解）。為描述解集，繼續把$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\end{array}\right]$化為簡化階梯形：
$?\begin{array}{cccc}1& 0& ?\frac{4}{3}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}??\begin{array}{l}{x}_1=frac43x_3\\ x_2=0\\ x_3為自由變量\end{array}$
$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的通解有向量形式
$\mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}\frac{4}{3}{x}_3\\ 0\\ x_3\end{array}?=x_3?\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}?=x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{v}=?\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}?$
注意，非平凡解向量$\mathbf{x}$可能有些零元素，只要不是所有元素都是0即可。

描述齊次方程組$\{\begin{array}{l}10x_1?3x_2?2x_3=0\end{array}$的解集。
解：這里無須矩陣記號。用自由變量$x_2$和$x_3$表示基本變量$x_1$。通解為:
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}0.3x_2+0.2x_3\\ 0\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}0.3x_2\\ 0\\ 0\end{array}?+?\begin{array}{c}0.2x_3\\ 0\\ 0\end{array}? \\ =x_2?\begin{array}{c}0.3\\ 0\\ 0\end{array}?+x_3?\begin{array}{c}0.2\\ 0\\ 0\end{array}? \\ =x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{u}=?\begin{array}{c}0.3\\ 0\\ 0\end{array}?，\mathbf{v}=?\begin{array}{c}0.2\\ 0\\ 0\end{array}? \end{gathered}$$

齊次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$總可表示為Span{${\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}，其中${\mathbf{v}}_1,?,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$是適當的解向量。若唯一解是零向量，則解集就是Span{$0$}；若方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$僅有一個自由變量，則解集是通過原點的一條直線。若有兩個或更多個自由變量，則解集是通過原點的平面。

上述方程$\{\begin{array}{l}10x_1?3x_2?2x_3=0\end{array}$是平面的隱式描述，解此方程就是要找這個平面的顯示描述（$\mathbf{x}=x_2\mathbf{u}+x_3\mathbf{v}$），就是說將它作為$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的子集。
顯示描述稱為平面的參數向量方程，記為$\mathbf{x}=s\mathbf{u}+t\mathbf{v}(s,t為實數)$。當解集用向量顯示表示，我們稱之為解的參數向量形式。

非齊次方程組的解

描述$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解，其中$\mathbf{A}=?\begin{array}{ccc}3& 5& ?4\\ ?3& ?2& 4\\ 6& 1& ?8\end{array}?$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}7& ?1& ?4\end{array}\right]$
解：對$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array}\right]$作行變換得
$?\begin{array}{cccc}3& 5& ?4& 7\\ ?3& ?2& 4& ?1\\ 6& 1& ?8& ?4\end{array}?$～$?\begin{array}{cccc}1& 0& ?\frac{4}{3}& ?1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?$
把每個基本變量用自由變量表示：$?\begin{array}{l}{x}_1?\frac{4}{3}=?1\\ x_2=2\\ 0=0\end{array}$
$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解可寫成向量形式
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}?1+\frac{4}{3}{x}_3\\ 2\\ x_3\end{array}?=?\begin{array}{c}?1\\ 2\\ 0\end{array}?+?\begin{array}{c}\frac{4}{3}{x}_3\\ 0\\ x_3\end{array}? \\ =?\begin{array}{c}?1\\ 2\\ 0\end{array}?+x_3?\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}? \end{gathered}$$
方程$\mathbf{x}=\mathbf{p}+x_3\mathbf{v}，其中\mathbf{p}=?\begin{array}{c}?1\\ 2\\ 0\end{array}?,\mathbf{v}=?\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}?$，或用$t$表示自由變量，$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$就是用參數變量形式表示的$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集。

注意：第一個例子齊次方程組$?\begin{array}{l}3x_1+5x_2?4x_3=0\\ ?3x_1?2x_2+4x_3=0\\ 6x_1+x_2?8x_3=0\end{array}$的系數矩陣和上訴例子的系數矩陣是同一矩陣：$?\begin{array}{ccc}3& 5& ?4\\ ?3& ?2& 4\\ 6& 1& ?8\end{array}?$。兩個方程的參數形式的$\mathbf{v}$是相同的。故$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解可由向量$\mathbf{p}$加上$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解得到，向量$\mathbf{p}$本身也是$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的一個特解。

為了從幾何上描述$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集，我們可以把向量加法解釋為平移。
設$\mathbf{L}$是通過$0$與$\mathbf{v}$的直線。$\mathbf{L}$的每個點加上$\mathbf{p}$得到$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$表示的平移后的直線。注意$\mathbf{p}$也在平移后的直線上。稱$\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$為通過$\mathbf{p}$平行于$\mathbf{v}$的直線方程。綜上，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集是一條通過$\mathbf{p}$而平行于$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解集的直線。

設方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$對某個$\mathbf{b}$是相容的，$\mathbf{p}$為一個特解，則$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解集是所有形如$\mathbf{w}=\mathbf{p}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{h}}$的向量的集，其中${\mathbf{v}}_{\mathbf{h}}$是齊次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的任意一個解。
注意：僅適用于方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$至少有一個非零解$\mathbf{p}$的前提下。當$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$無解時，解集是空集。

把（相容方程組的）解集表示稱參數向量形式：

把增廣矩陣行化簡為簡化階梯形矩陣。

把每個基本變量用自由變量表示。

把一般解$\mathbf{x}$表示稱向量，如果有自由變量，其元素依賴于自由變量。

把$\mathbf{x}$分解為向量（元素為常數）的線性組合，用自由變量作為參數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性方程组（五）- 线性方程组的解集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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