Bernoulli分布

在現實生活中，許多事件的結果往往只有兩個，例如：拋硬幣結果只有正面朝上或反面朝上，這類事件被稱為伯努利試驗。其概率分布稱為Bernoulli分布，也稱為兩點分布、0-1分布，是最簡單的離散型概率分布。
假設某個試驗是伯努利試驗，$x\in \{0,1\}$，$x$取1概率為p，取0的概率為1-p。則其概率質量函數為：
$$P(x)=p^x(1?p{)}^{(1?x)}$$

二項分布

二項分布(binomial distribution)用以描述N次獨立的伯努利實驗中有m次$x$取1的概率，可用下面公式來計算：
$$P(x=m)=\frac{N!}{m!(N?m)!}{p}^m(1?p{)}^{(N?m)}$$

multinoulli分布

mutinoulli分布也稱作范疇分布、分類分布(categotical distribution)，是 Bernoulli分布從兩個取值狀態到多個取值狀態的擴展。具體來說，mutinoulli分布是指在具有k個不同狀態的單個離散型隨機變量上的分布，其中k是一個有限值，且滿足k個狀態的概率之和為1。 例如：擲骰子游戲中，每次投擲可能出現6種結果，對應6個狀態，每個狀態的概率均為六分之一。
假設$x$服從multinoulli分布，$x\in \{0,1{\}}^k$，每次采樣時$x$僅取一個狀態，即$\sum _{i=1}^k{x}_i=1$。$x$取$x_i$的概率為$p_i$，且有$\sum _{i=1}^k{p}_i=1$，類似地，其概率質量函數可表示為：
$$P(x_i=1)=\prod _{i=1}^k{p}_i^{x_i}$$

多項分布

多項分布(nultinomial distribution)可看作multinoulli分布的擴展，表示當對mutinoulli分布采樣N次時k個狀態中的每一個被訪問的次數。則在N次獨立實驗中有$m_i$次$x_i$取1的概率為：
$$P(m_1,m_2,...,m_k)=\frac{N!}{m_1!m_2!...m_k!}\prod _{i=1}^k{p}_i^{m_i}$$
此外，多項分布也可看作二項分布從兩個取值狀態到多個取值狀態的擴展。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率分布：Bernoulli分布，二项分布，multinoulli分布和多项分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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