本次博客是對(duì)于博客提出疑問的思考與實(shí)踐。

目錄

• 1. 問題描述
• 2. 現(xiàn)有的解決辦法
• • 2.1 模擬退火算法
  • 2.2 遺傳算法
  • • 2.2.1 遺傳算法簡(jiǎn)介
    • 2.2.2 遺傳算法在TSP問題中的使用

四個(gè)圖論經(jīng)典問題

戈尼斯堡七橋問題

哈密頓問題

四色猜想問題

旅行商問題（貨擔(dān)郎問題或者中國(guó)郵政問題）

在這里主要討論第四個(gè)問題，中國(guó)郵政問題

1. 問題描述

給定一些城市與城市之間的距離，求解訪問每座城市一次且能返回出發(fā)點(diǎn)的最短路徑。

其圖論描述為：
給定圖$\mathrm{G}=（\mathrm{V},\mathrm{A})$，其中$\mathrm{V}$為頂點(diǎn)集，$\mathrm{A}$為各頂點(diǎn)相互連接的邊集，設(shè)$d{(}_{ij})$是由頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j之間的距離所產(chǎn)生的距離矩陣，要求確定一條hamilton回路，即遍歷所有頂點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)一次的最短距離。
旅行商問題可分為如下兩類：

對(duì)稱旅行商問題（$d_{ij}=d_{ji},?i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$）;

非對(duì)稱旅行商問題（$d_{ij}=d_{ji},?i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$）;
其中，非對(duì)稱旅行商問題較難求解，我們一般討論對(duì)稱旅行商問題。

旅行商問題數(shù)學(xué)模型：
$$\underset{t_i\in \mathrm{T}}{\min }\sum _{i=1}^{n}d(t_i,t_{i+1}))$$
$\mathrm{T}=\{t_1,t_2,\dots ,t_n\}$代表對(duì)于城市$\mathrm{V}=\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$的一個(gè)訪問順序，其中$t_i\in \mathrm{V},i\in \{1,2,\dots ,n\}且t_{n+1}=t_1$。

該問題是一個(gè)典型的優(yōu)化組合難題，已被證實(shí)屬于NP完全問題，即沒有確定的算法能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)得到問題的最優(yōu)解。¹

2. 現(xiàn)有的解決辦法

現(xiàn)有數(shù)據(jù)集
數(shù)據(jù)集讀取： tsplib95

巡回旅行商問題是典型的NP難題。如果使用暴力搜索求解TSP問題，其時(shí)間復(fù)雜度為$O((n?1)!)$，減一是因?yàn)槠鹗键c(diǎn)確定。基于TSP的問題特性，構(gòu)造性算法成為最先開發(fā)的求解算法，如最近領(lǐng)點(diǎn)，最近合并，最近插入，最遠(yuǎn)插入，最近添加，貪婪插入等。但是由于構(gòu)造性算法優(yōu)化質(zhì)量較差，迄今為止已開發(fā)了許多性能較好的改進(jìn)型搜索算法。主要有：

模擬退火算法

禁忌搜索算法

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法

蟻群算法

遺傳算法

模擬優(yōu)化策略

2.1 模擬退火算法

模擬退火算法思想：
模擬退火算法區(qū)別于爬山思想（只向比當(dāng)前高的地方爬，容易陷入局部極小值），就是加入了一個(gè)概率方程組指導(dǎo)決策：

$$P_k(i\to j)=\{\begin{array}{l}1,f(i)\le f(j)\\ \exp (?\frac{f(i)?f(j)}{t}),\text{otherwise}\end{array}$$
其中$f(i)$表示適應(yīng)度函數(shù)，t表示溫度。
概率方程翻譯過來(lái)表示，當(dāng)溫度t較大的時(shí)候，接受比當(dāng)前差的狀態(tài)轉(zhuǎn)移；當(dāng)溫度較小的時(shí)候，只接受比當(dāng)前好的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。
偽代碼：

/* * J(y)：在狀態(tài)y時(shí)的評(píng)價(jià)函數(shù)值 * Y(i)：表示當(dāng)前狀態(tài) * Y(i+1)：表示新的狀態(tài) * r： 用于控制降溫的快慢 * T： 系統(tǒng)的溫度，系統(tǒng)初始應(yīng)該要處于一個(gè)高溫的狀態(tài) * T_min ：溫度的下限，若溫度T達(dá)到T_min，則停止搜索 */ while( T > T_min ) {dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;if ( dE >=0 ) //表達(dá)移動(dòng)后得到更優(yōu)解，則總是接受移動(dòng)Y(i+1) = Y(i) ; //接受從Y(i)到Y(jié)(i+1)的移動(dòng)else{// 函數(shù)exp( dE/T )的取值范圍是(0,1) ，dE/T越大，則exp( dE/T )也越大if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )Y(i+1) = Y(i) ; //接受從Y(i)到Y(jié)(i+1)的移動(dòng)}T = r * T ; //降溫退火 ，0<r<1 。r越大，降溫越慢；r越小，降溫越快/** 若r過大，則搜索到全局最優(yōu)解的可能會(huì)較高，但搜索的過程也就較長(zhǎng)。若r過小，則搜索的過程會(huì)很快，但最終可能會(huì)達(dá)到一個(gè)局部最優(yōu)值*/i ++ ; }

用python實(shí)現(xiàn)代碼：（dantzig42.tsp）

# 模擬退火算法import tsplib95 import numpy as np import random import math import json# 初始溫度值 t_high = 10000temperature = 10000# 溫度下界 t_low = 0.1# 冷卻速度 cool_rate = 0.001# tsplib文件路徑 path = "D:\\dataset\\tsp\\dantzig42.tsp\\dantzig42.tsp"def read_tsp_question(tsp_path):return tsplib95.load(tsp_path)def calculate_seq_distance(city_seq):distance = 0for i in np.arange(0, len(city_seq)-1):distance += problem.get_weight(city_seq[i], city_seq[i+1])# print("city_seq[{}], city_seq[{}] distance = {}".format(i,i+1,problem.get_weight(city_seq[i], city_seq[i+1])))distance += problem.get_weight(city_seq[len(city_seq)-1], city_seq[0])return distancedef get_new_city_seq(city_seq):new_city_seq = city_seq.copy()# 隨機(jī)選擇兩個(gè)位點(diǎn)， 交換兩個(gè)城市的位置first_index = random.randint(0, len(city_seq)-1)second_index = random.randint(0, len(city_seq)-1)while first_index == second_index:second_index = random.randint(0, len(city_seq) - 1)temp = new_city_seq[first_index]new_city_seq[first_index] = new_city_seq[second_index]new_city_seq[second_index] = tempreturn new_city_seqdef initial_sequence(city_num):initial_seq = np.arange(1, city_num + 1)initial_seq[10] = 32initial_seq[31] = 11seq_str = "[1,2,25,4,5,6,7,8,9,10,32,12,13,14,15,21,17,18,19,20,16,22,23,24,3,26,27,28,29,30,31,36,33,34,35,11,37,38,39,40,41,42]"initial_seq = json.loads(seq_str)return initial_seqdef acceptance_probability(next_distance, current_distance, temperature):if next_distance < current_distance:return 2else:return math.exp((current_distance-next_distance)/temperature)if __name__ == "__main__":problem = read_tsp_question(path)# 城市數(shù)量city_num = problem.dimension# 循環(huán)中最好的城市序列best_city_sequence = Nonebest_distance = -1# 當(dāng)前的城市序列current_city_seq = Nonecurrent_distance = -1# 下一步的城市序列next_city_seq = Nonewhile temperature >= t_low:if temperature == t_high and current_city_seq is None:current_city_seq = initial_sequence(city_num)best_city_sequence = current_city_seqcurrent_distance = calculate_seq_distance(current_city_seq)best_distance = current_distanceprint("initial_distance = {}".format(current_distance))next_city_seq = get_new_city_seq(current_city_seq)next_distance = calculate_seq_distance(next_city_seq)if acceptance_probability(next_distance, current_distance, temperature) > random.random():current_city_seq = next_city_seqcurrent_distance = next_distanceif current_distance < best_distance:best_city_sequence = current_city_seqbest_distance = current_distance# print("current_distance = {}\n".format(current_distance))temperature *= (1-cool_rate)print("best_city_seq: {}".format(best_city_sequence))print("best_distance: {}".format(best_distance))

由于${\cup }_{i=1}^{42}\{x_i|x_i=i\}$就是最優(yōu)解（dantzig42 : 699），就初始化一個(gè)距離為1287的序列當(dāng)作初始解，體現(xiàn)模擬退火算法的優(yōu)化效果。

2.2 遺傳算法

2.2.1 遺傳算法簡(jiǎn)介

遺傳算法是一種基于自然選擇與基因遺傳學(xué)原理的隨機(jī)并行搜索算法，是一種尋找全局最優(yōu)且不需要任何初始化信息的高效優(yōu)化方法。它將問題的解集看做是一個(gè)種群，通過不斷的選擇、交叉、變異等遺傳操作，使解的質(zhì)量越來(lái)越好。該算法具有全局尋優(yōu)能力，適用性、解決非線性優(yōu)化問題具有較強(qiáng)的魯棒性。對(duì)問題沒有特定限制、計(jì)算過程簡(jiǎn)單、對(duì)搜索空間沒有特殊要求、易于與其他算法結(jié)合等特點(diǎn),，在函數(shù)優(yōu)化、圖像處理、系統(tǒng)辨識(shí)、自動(dòng)控制、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和工程優(yōu)化等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用, 在求解NP完全問題方面是一種較為有效的全局方法。¹

簡(jiǎn)單遺傳算法求解 TSP 問題的主要計(jì)算過程如下:
Step 1: 確定編碼機(jī)制, 生成初始種群。解決 TSP問題通常采用城市序號(hào)對(duì)路徑進(jìn)行編碼, 按照訪問城市的順序排列組成編碼。

Step 2: 計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值.。TSP 求解是要尋找使目標(biāo)函數(shù)最小的個(gè)體, 因此選擇適應(yīng)度函數(shù) fitness(𝑖) = 𝐷/𝑓(𝑅𝑖).。設(shè)置常數(shù)𝐷, 防止路徑值過大而導(dǎo)致適應(yīng)度函數(shù)倒數(shù)接近于 0。 可以看出, 巡游路徑越小, 適應(yīng)度值越大。

Step 3: 選擇算子。通常采用精英個(gè)體保存策略和賭輪選擇算子, 即適應(yīng)度最高的個(gè)體一定被選擇. 計(jì)算每個(gè)個(gè)體在整個(gè)種群適應(yīng)度中的被選擇概率和累計(jì)概率分別為$p_i=\frac{\text{fitness}(i)}{{\sum }_{i=1}^{\text{popsize}}\text{fitness}(i)}$, $Q_i={\sum }_{j=1}^{i}p(j)$。通過隨機(jī)數(shù) 𝑟 所在的區(qū)間范圍選擇遺傳個(gè)體。

Step 4: 交叉算子.。由交叉概率 𝑝𝑐 選擇若干父體并進(jìn)行配對(duì), 按照交叉算法的規(guī)則生成新個(gè)體, 常用的規(guī)范方法有單點(diǎn)交叉、部分映射交叉、循環(huán)交叉等。

Step 5: 變異算子。為了保持種群個(gè)體的多樣性,防止陷入局部最優(yōu), 需要按照某一變異概率 𝑝𝑚 隨機(jī)確定變異個(gè)體, 并實(shí)行相應(yīng)變異操作, 通常采用逆序變異算子。

Step 6: 迭代終止條件。 若滿足預(yù)定的終止條件(達(dá)到最大迭代次數(shù)), 則停止迭代, 所得的路徑認(rèn)為是滿意的路徑; 否則, 轉(zhuǎn)至 Step 2, 計(jì)算新一代種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

簡(jiǎn)單遺傳算法往往存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)和優(yōu)化精度低等明顯不足。 如何在提高算法收斂速度的同時(shí)確保種群多樣性, 使尋優(yōu)結(jié)果接近最優(yōu)解是遺傳算法不斷改進(jìn)的目標(biāo)。

2.2.2 遺傳算法在TSP問題中的使用

上述對(duì)于遺傳算法的描述是通用的，只是闡述了遺傳算法的思想與基本的步驟。閱讀了幾篇用遺傳算法求解TSP問題的論文，優(yōu)化方法包括了上述的六步。比如說(shuō)，第一步中的初始化種群，就有提出使用貪婪算法生成初始化種群的。

編碼方式：
最常規(guī)的編碼方式為二進(jìn)制編碼，但是不使用于此問題。此問題的一個(gè)組合形如$(4,2,1,3,4)$，每個(gè)數(shù)字代表一個(gè)城市，一個(gè)序列代表著游覽城市的序列，是一個(gè)回路。如果使用二進(jìn)制編碼，不僅要考慮數(shù)據(jù)溢出的問題，而且還要考慮交叉之后的序列存在重復(fù)城市編號(hào)。
TSP問題中的交叉算子：
路徑表示(path representation)是表示旅程對(duì)應(yīng)的基因編碼的最自然、最簡(jiǎn)單的表示方法。例如，旅程 5－1－7－8－9－4－6－2－3 可以直接表示為(5 1 7 8 9 4 6 2 3)，基于路徑表示的編碼方法，要求一個(gè)個(gè)體(即一條旅程)的染色體編碼中不允許有重復(fù)的基因碼，也就是說(shuō)要滿足任一個(gè)城市必須而且只能訪問一次的約束。這樣，基本遺傳算法的交叉操作生成的個(gè)體一般不能滿足這一約束條件。為此，人們提出了一個(gè)稱為重排操作的新操作來(lái)處理這類表示問題，它包括三種操作：部分匹配交叉(Partially Matched Crossover,PMX)、郭濤交叉(Guo Tao Crossover,GTX)、循環(huán)交叉(Cycle Crossover,CX)。主要是在傳統(tǒng)交叉操作上加入了“不允許有重復(fù)基因碼”的限制。

下述是遺傳算法選擇，交叉，變異的常見算法：²
選擇算子：

序號(hào)名稱特點(diǎn)研究者

1	輪盤賭選擇(回放式隨機(jī)采樣)	選擇誤差較大	DeJong,Brindle
2	無(wú)回放式隨機(jī)采樣	降低選擇誤差，復(fù)制數(shù)(f/(f+1))，操作不便	DeJong,Brindle
3	確定采樣	選擇誤差更小，操作簡(jiǎn)易	Brindle
4	柔性分段式選擇	有效防止基因缺失但需要選擇有關(guān)參數(shù)	Yun
5	自適應(yīng)柔性分段式動(dòng)態(tài)群體采樣	群體自適應(yīng)變化，提高搜索效率	Yun
6	無(wú)放回式余數(shù)隨機(jī)采樣	群體自適應(yīng)變化，提高搜索效率	DeJong,Brindle
7	均勻排序	與適應(yīng)度的大小差異程序正負(fù)無(wú)關(guān)	Back
8	穩(wěn)態(tài)選擇	保留父代中的一些高適應(yīng)度的串	Syswerda
9	隨機(jī)比賽		Brindle
10	選擇評(píng)價(jià)		Whitley
11	最優(yōu)串選擇	全局收斂，提高搜索效率	DeJong.Back
12	最優(yōu)串保留	保證全局收斂	Yun
13	適應(yīng)度線性尺度變換	簡(jiǎn)單，可消除遺傳早期的超級(jí)串現(xiàn)象	Bagley
14	適應(yīng)度指數(shù)尺度變換		Gillies
15	適應(yīng)度自適應(yīng)線性尺度變換	符合遺傳機(jī)理	Yun

交叉算子：

序號(hào)名稱特點(diǎn)研究者適用編碼

1	單點(diǎn)交叉	基于 GA 的成員	Holland,DeJong,Goldberg	符號(hào)
2	雙點(diǎn)交叉	使用較多	Cavicchio,Booker	符號(hào)
3	均勻交叉	每一位以相同的概率交叉	Syswerda,whitely,Yun	符號(hào)
4	多點(diǎn)交叉	交換點(diǎn)大于 2	DeJong,Spears	符號(hào)
5	部分匹配(PMX)		Goldberg	序號(hào)
6	序號(hào)交叉(OX)		Davis	序號(hào)
7	圓交叉(CX)		Smith	序號(hào)
8	基于位置交叉		Syswerda	序號(hào)
9	算術(shù)交叉		Michalewicz	實(shí)數(shù)
10	啟發(fā)式交叉	應(yīng)用領(lǐng)域知識(shí)	Grffenstette	序號(hào)

變異算子：

序號(hào)名稱特點(diǎn)研究者適用編碼

1	常規(guī)位突變	基本 GA 的成員	DeJong	符號(hào)
2	有效基因突變	避免有效基因缺失	Yun	符號(hào)
3	自適應(yīng)有效基因突變	最低有效基因個(gè)數(shù)自適應(yīng)變換	Yun	符號(hào)
4	概率自調(diào)整突變	由兩個(gè)串的相似性確定突變概率	Whitley	符號(hào)
5	均勻突變	每一個(gè)實(shí)數(shù)元素以相同的概率在域內(nèi)變動(dòng)	Michalewicz	實(shí)數(shù)
6	非均勻突變	使整個(gè)矢量在解空間輕微變動(dòng)	Michalewicz	實(shí)數(shù)
7	三次高斯近似突變		Bosworth,Foo,zeigler	實(shí)數(shù)

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于瑩瑩,陳燕,李桃迎.改進(jìn)的遺傳算法求解旅行商問題[J].控制與決策,2014,29(08):1483-1488. ?? ??

王銀年. 遺傳算法的研究與應(yīng)用[D].江南大學(xué),2009. ??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的TSP(中国旅行商问题)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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