1. 定義

隨機試驗的每一個結果都對應變量$X$的一個確定的取值，因此變量$X$是樣本空間$S$上的函數：

$$X=X(e)(e\in S)$$

離散型隨機變量：如果隨機變量$X$的取值是有限個或可列無窮個，則稱$X$為離散型隨機變量。

設離散型隨機變量$X$的所有可能取值為$x_1{x}_2,\dots ,x_n,\dots$，離散型隨機變量$X$的分布律如下：

$$P\{X=x_n\}=p_n(n=1,2,\dots )$$ 或

$X$	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$

對于任意自然數$n$，$p_n\ge 0$，且${\sum }_n{p}_n=1$。

2. 常見離散變量分布

（1）Bernoulli分布

Bernoulli分布又稱兩點分布或0-1分布。
伯努利試驗（Bernoulli trial）是只有兩種可能結果的單次隨機試驗，即對于一個隨機變量X而言：

$$P\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1?p$$
如果隨機變量$X$的分布律為$$P\{X=k\}=p^k(1?p{)}^{1?k},k=0,1$$

則稱隨機變量$X$服從參數為$p$的Bernoulli分布，記作$X～B(1,p)$

（2）二項分布

如果隨機變量$X$的分布律為
$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1?p{)}^{(n?k)},(k=0,1,\dots ,n)$$

則稱隨機變量$X$服從參數為$(n,p)$的二項分布，記作$X～B(n,p)$。

二項分布(Binomial distribution)是$n$重伯努利試驗成功次數的離散概率分布。顯然，當$n=1$時，$X～B(1,p)$，此時$X$服從Bernoulli分布，因此Bernoulli分布是二項分布的一個特例。

（3） 多項分布

多項式分布(Multinomial Distribution)是二項式分布的推廣。$n$次伯努利實驗，每次試驗的結果可以有多$m$個，且$m$個結果發生的概率互斥且和為1，則發生其中一個結果$X$次的概率就是多項式分布。
$$P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\{\begin{array}{c}n!{\prod }_{i=1}^k\frac{p_i^{n_i}}{n_i!},{\sum }_{i=1}^k{n}_i=n\\ 0,otherwise\end{array}$$

（4） Poisson分布

如果隨機變量X的分布律為
$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{?\lambda }(k=0,1,2,\dots )$$ 其中，$\lambda >0$為常數
則稱隨機變量$X$服從參數$\lambda $的Poisson分布。

可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數，放射物在某一時間間隔內發射的粒子數，容器在某一時間間隔內產生的細菌數，在一定條件下，都服從Poisson分布。

Poisson定理

設在Bernoulli試驗中，以$P_n$代表事件$A$在試驗中發生的概率，它與試驗總數$n$有關。如果

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{P}_n=\lambda >0$$
則$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{C}_n^k{p}^k(1?p{)}^{(n?k)}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{?\lambda }$$

由Poisson定理可知，若隨機變量$X～B(n,p)$，則當$n$比較大，$p$比較小時，令$\lambda =np$，則有

$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}$$

（5） 幾何分布

隨機變量$X$的分布律為$$P\{X=k\}=q^{k?1}p(k=1,2,\dots )$$ 其中$p\ge 0,q\ge 0,p+q=1$。

（6） 超幾何分布

隨機變量$X$的分布律為
$$P\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N?M}^{n?k}}{C_N^n}(k=0,1,\dots ,min?(M,n))$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的L2-离散变量分布：Bernoulli分布、二项分布、泊松分布等的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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